Многочлены Лагерра |
Формула |
![{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e0d8baa1af6891e75c32bfeab250c296f8392f5) |
Скалярное произведение |
![{\displaystyle \langle f,\;g\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a91cf89f0be4c7257d6200a8f51c8c671b478a04) |
Область определения |
![{\displaystyle x\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2608e2b392b079f5b763f27bf52883dbee3b64a) |
Дифференциальное уравнение |
![{\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a683425c6510df21aad8dd5e0ee7e19d2c65aea9) |
Названы в честь |
Лагерр, Эдмон Никола |
В математике многочлены Лаге́рра, названные в честь Эдмона Лагерра (1834—1886),
являются каноническими решениями уравнения Лагерра:
![{\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a683425c6510df21aad8dd5e0ee7e19d2c65aea9)
являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. В физической кинетике эти же многочлены (иногда с точностью до нормировки) принято называть полиномами Сонина или Сонина — Лагерра[1]. Многочлены Лагерра также используются в квадратурной формуле Гаусса — Лагерра численного вычисления интегралов вида:
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/483cece2156356cd1c157513e8863de72478d22d)
Многочлены Лагерра, обычно обозначающиеся как
, являются последовательностью полиномов, которая может быть найдена по формуле Родрига
![{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{n \choose k}x^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30e83d25ac2c80c9108f6de184c3a656a03e34e)
Эти полиномы ортогональны друг другу со скалярным произведением:
![{\displaystyle \langle f,\;g\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4bac1191aa445bcbf0ad57c3494768158902b6f)
Последовательность полиномов Лагерра — это последовательность Шеффера.
Многочлены Лагерра применяются в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шрёдингера для атома с одним электроном.
Имеются и другие применения многочленов Лагерра.
В следующей таблице приведены несколько первых многочленов Лагерра:
|
|
0
|
|
1
|
|
2
|
|
3
|
|
4
|
|
5
|
|
6
|
|
Первые 6 многочленов Лагерра.
Полиномы Лагерра можно определить рекуррентной формулой:
![{\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {1}{k+1}}{\bigl [}(2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x){\bigr ]},\quad \forall k\geqslant 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b47a09527a0dcf7ba5ade8fb73782f3397140919)
предопределив первые два полинома как:
![{\displaystyle L_{0}(x)=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dbc3f988dba3bf8a0f143f99ef5f612dab33155)
![{\displaystyle L_{1}(x)=1-x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72102d38e864a53168d4cad6e082471c93bf2c6f)
Обобщённые полиномы Лагерра
являются решениями уравнения:
![{\displaystyle x\,y''+(a+1-x)\,y'+n\,y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8816ce632768eea6c0f6ad1db0fa5199fae692d1)
так что
.