Абу Бакр аль-Караджи

Абу Бакр аль-Караджи
перс. بوبکر محمد بن حسن کرجیا‎
Дата рождения	13 апреля 953
Место рождения	предп. Кередж, Аббасидский халифат
Дата смерти	около 1029
Страна	Аббасидский халифат
Род деятельности	математик
Медиафайлы на Викискладе

Фахр ад-Дин Абу Бакр Мухаммад ибн аль-Хусайн аль-Караджи (или аль-Кархи, перс. ابوبکر محمد بن حسین کرجی‎, англ. Abū Bakr ibn Muhammad ibn al Husayn al-Karajī (or al-Karkhī), 953 – 1029) — аббасидский математик, который первым описал биномиальные коэффициенты и структуру, известную в Европе как треугольник Паскаля, за 600 лет до работы Блеза Паскаля. Его работы сыграли важную роль в отделении алгебры от геометрии, что стало важным этапом в её развитии как самостоятельной дисциплины.

По одной из версий Абу Бакр Мухаммад ибн аль-Хусайн является выходцем из города Карадж, по другой версии он родился в пригороде Багдада, Кархе. В источниках можно встретить его упоминание как аль-Караджи, так и как аль-Кархи. Большую часть жизни учёный прожил в Багдаде, где и написал свои основные работы.

Основные труды

Рукопись XVII-го века книги аль-Караджи XI-го века, «О нахождении скрытых вод»

«Достаточная книга об арифметике»

В трактате «Достаточная книга об арифметике» аль-Караджи даёт практическое руководство для вычислителей, уделяя особое внимание учению о дробях в его традиционной староарабской форме; десятичная индийская арифметика в этом сочинении не рассматривается. Несколько разделов этого трактата посвящены «исчислению алгебры и алмукабалы», которое ведётся в том же стиле, что и у аль-Хорезми.

В секции «Об измерениях и весах для измерения зданий и сооружений» аль-Караджи определяет точки, прямые, плоскости, объёмные фигуры и углы. Он также даёт правила измерения как плоских, так и объёмных фигур, часто используя в качестве примеров арки. Он также даёт методы взвешивания различных веществ.

«Книга об алгебре и алмукабале»

«Книга об алгебре и алмукабале», известная как «al-Fakhri» («Славный»), написанная около 1010 года, содержит учение об алгебраическом исчислении и об определённых и неопределённых уравнениях. Аль-Караджи оперирует не только квадратными, но и кубическими корнями, используя формулу для куба суммы и разности. Он даёт правила для определения суммы арифметической прогрессии, а также суммы квадратов и кубов последовательных чисел. Для суммы квадратов аль-Каражди приводит верную формулу, но сообщает, что доказать её правильность он не может. Для суммы кубов он приводит геометрическое доказательство.

Мономы

В этой книге он первым ввёл понятие мономов (одночленов) $x,x^{2},x^{3},...$ и $1/x,1/x^{2},1/x^{3},...$, а также дал правила произведения любых двух таких одночленов. Его достижение заключалось в том, что он определил произведение этих членов без ссылок на геометрию. Фактически, он почти дал общую формулу для этих произведений $x^{n}x^{m}=x^{n+m}$ для всех целых $n$ и $m$, но не дал определения $x^{0}=1$ и $x^{-n}=1/x^{n}$. В дальнейшем эти детали были добавлены его последователем аль-Самуалом (1130—1180).

После установления правил умножения и деления одночленов аль-Караджи перешел к изучению их сумм. Он разработал правила для сложения, вычитания и умножения таких величин, однако не предоставил общее правило для деления составной величины. Вместо этого были предложены правила только для деления составной величины на одночлен. Кроме того, аль-Караджи сформулировал правило для извлечения квадратного корня из составной величины, которое, несмотря на ограничение лишь положительными коэффициентами, представляет собой значительное достижение.

Математические доказательства

Аль-Караджи также использует в своих доказательствах форму математической индукции, хотя и не даёт строгого изложения принципа. Он доказывает случай для $n=1$, затем для $n=2$, основываясь на результате для $n=1$, и так далее, доходит до $n=5$, замечая, что этот процесс можно продолжать бесконечно. Хотя это ещё не полноценная математическая индукция, такой подход является важным шагом к пониманию индуктивных доказательств.

Аль-Караджи использует такую индукцию для биномиальной теоремы, биномиальных коэффициентов и треугольника Паскаля.

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}$

Также с помощью неявной математической индукции он предоставил доказательство выражения $\sum i^{3}=(\sum i)^{2}$.

Еще одна важная идея, введенная аль-Караджи и продолженная аль-Самуалом и другими, заключалась в использовании индуктивного аргумента для работы с определенными арифметическими последовательностями. Так, аль-Караджи использовал такой аргумент для доказательства формулы суммы целых кубов, которая уже была известна Ариабхате <...> Однако аль-Караджи не утверждал общий результат для произвольного n. Он заявил свою теорему для конкретного числа 10 <...> Его доказательство, тем не менее, явно предназначалось для распространения на любое другое целое число. <...> Аргумент аль-Караджи по существу включает два основных компонента современного доказательства методом индукции, а именно истинность утверждения для $n=1$ $(1=1^{3})$ и вывод истинности для $n=k$ из истинности для $n=k-1$. Конечно, этот второй компонент не является явным, так как в некотором смысле аргумент аль-Караджи идет в обратном порядке; то есть он начинает с $n=10$ и идет вниз до 1, а не поднимается вверх. Тем не менее, его аргумент в аль-Фахри является самым ранним сохранившимся доказательством формулы суммы целых кубов.Виктор Кац, История Математики: Введение

Кроме того, аль-Караджи доказал формулу суммы ряда из натуральных чисел $\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$.

Источники и влияние

Учёный изучал работы Диофанта и включил многие из его задач в свою книгу, а также предоставил свои собственные. Однако он не просто копировал работы своего предшественника, но пытался обобщить их и найти универсальные методы решения. Так, он разработал новые методы решения квадратных уравнений, а также смог показать, что некоторые уравнения более высокой степени можно свести к квадратным уравнениям.

Вторая часть работы содержит 254 задачи на определённые и неопределённые уравнения. Некоторые из этих задач были повторно использованы Леонардо Фибоначчи, Леонардо да Винчи и Джероламо Кардано без указания автора.

«Чудесное об арифметике»

Сочинение «Чудесное об арифметике» состоит из трёх книг: «Об основных определениях», «О решении уравнений», «Введение в неопределённый анализ». В них, на чисто алгебраической основе, излагаются те вопросы, которые традиционно решались с помощью алгебраических построений.

Другие труды

Аль-Караджи составил также «Книгу о нахождении скрытых вод» (трактат о практической гидромеханике) и «Книгу о сводах зданий».

Оценки

Историк математики Франц Вёпке высоко оценил Аль-Караджи как «первого, кто ввёл теорию алгебраического исчисления».

См. также

• Математика исламского Средневековья
• Аль-Хорезми
• Самуил Марокканский
• Абу Камил

Литература

• Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. Ташкент: Фан, 1967.
• Матвиевская Г. П., Розенфельд Б. А. Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды (VIII—XVII вв.). В 3 т. М.: Наука, 1983.