Коэффициенты Клебша — Гордана находят применение при описании взаимодействия квантовомеханических моментов импульса. Они представляют собой коэффициенты разложения собственных функций суммарного момента импульса по базису собственных функций суммируемых моментов импульса. Коэффициенты Клебша — Гордана применяются при вычислении спин-орбитального взаимодействия, а также в формализме изоспина.
Коэффициенты Клебша — Гордана названы в честь Альфреда Клебша (1833—1872) и Пауля Альберта Гордана (1837—1912).
См. также статью Оператор момента импульса.
Рассмотрим два момента импульса
и
, которые обладают квантовыми числами
и
(
-компонента) и
и
. При этом
и
принимают значения
и
соответственно. Моменты импульса коммутируют
, что означает, что оба могут быть измерены одновременно с любой точностью. Каждому моменту импульса соответствует свой базис собственных функций (векторов):
или
. В базисе
момент
принимает простой диагональный вид, аналогично
в базисе
.
При взаимодействии, оба момента импульса
и
складываются в общий момент
, который обладает квантовыми числами
и
, принимающими следующие значения
и
(с шагом 1).
Так как суммарный момент импульса состоит из двух отдельных моментов импульса
и
, то он может быть разложен в пространстве произведения двух собственных пространств отдельных моментов:
![{\displaystyle \left|j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\right\rangle =\left|j_{1},\;m_{1}\right\rangle \otimes \left|j_{2},\;m_{2}\right\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c78885e79eff44569383baa19c62512b4b1df0f)
Однако вектора этого базиса не будут являться собственными векторами суммарного момента импульса
и его представление в этом базисе не будет иметь простой диагональной формы.
Собственные векторы момента
однозначно определяются квантовыми числами
,
,
и
. В базисе этих векторов суммарный момент
принимает простую диагональную форму. А именно
![{\displaystyle {\vec {J}}\,^{2}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =J(J+1)\hbar ^{2}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f4e3303e1c7237dc510d48f81cdcae72142f853)
![{\displaystyle J_{z}\left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =M\hbar \left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eb1809df296530b404bf09b00bb11b11cd1d2e6)
Коэффициенты Клебша — Гордана дают переход путём унитарного преобразования от базиса произведения собственных пространств отдельных моментов
в базис собственных векторов
.
![{\displaystyle \left|J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\right\rangle =\sum _{m_{1},\;m_{2}}\left|j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\right\rangle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a5ba77d1e44fbcb14c1499ab774e9e98b13495)
Здесь
являются коэффициентами Клебша — Гордана.
- Коэффициенты Клебша — Гордана равны нулю, если не выполнено одно из двух условий
и
:
![{\displaystyle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle \neq 0\quad \Rightarrow \quad |j_{1}-j_{2}|\leqslant J\leqslant j_{1}+j_{2}\;\wedge \;M=m_{1}+m_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c63f05305bb07915938fb57e39180cf88cd11f77)
- Коэффициенты Клебша — Гордана задают действительными числами:
![{\displaystyle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle \in \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab1d931c5ea540d6a2175dd71a34d1eb542bef45)
- Коэффициент Клебша — Гордана при
задают положительным:
![{\displaystyle \langle j_{1},\;j_{1};\;j_{2},\;J-j_{1}\vert J,\;J,\;j_{1},\;j_{2}\rangle >0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67c99d7c7f4fddbc6bc3050c5534a0aaebd080d5)
- Коэффициенты Клебша — Гордана равны по модулю при
:
![{\displaystyle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle =(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1},\;-m_{1};\;j_{2},\;-m_{2}\vert J,\;-M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92224535fc7284bd41ccb58e7a2a25ca3ba481b8)
- Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:
![{\displaystyle \sum _{m_{1},\;m_{2}}\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle \langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J',\;M',\;j_{1},\;j_{2}\rangle =\delta _{JJ'}\delta _{MM'}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/473551bc0a29b7f3e30c8bdd893050d13f655a4c)
- Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:
![{\displaystyle \sum _{J,\;M}\langle j_{1},\;m_{1};\;j_{2},\;m_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle \langle j_{1},\;m'_{1};j_{2},\;m'_{2}\vert J,\;M,\;j_{1},\;j_{2}\rangle =\delta _{m_{1}m'_{1}}\delta _{m_{2}m'_{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7133cc7be9352ee603348d1170507ff707a42dc2)
Собственное состояние с
и
непосредственно получается в базисе произведения собственных пространств составляющих моментов (только один коэффициент равен 1, остальные нулю)
![{\displaystyle |j_{1}+j_{2},\;j_{1}+j_{2},\;j_{1},\;j_{2}\rangle =|j_{1},\;j_{1};\;j_{2},\;j_{2}\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9247b87aaef43fbb6ae2d68339a8c12f2867418)
Применением оператора уменьшения
можно получить состояния от
до
, или же все состояния с
и
.
Состояние
можно получить из условия ортогональности к состоянию
и соглашению о том, что коэффициент Клебша — Гордана при
является положительным.
Применением оператора уменьшения к
можно опять получить все состояния с
. Итеративно можно применять эту процедуру для всех
до
.
На практике, вычисление коэффициентов Клебша — Гордана производится по формуле:
![{\displaystyle \times \sum _{s=\max(m_{1}+m_{2},\;j_{1}-j_{2})}^{j}{\dfrac {(-1)^{j_{1}+m_{2}-s}(j+s)!(j_{2}+s-m_{1})!}{(j-s)!(s-m_{1}-m_{2})!(s-j_{1}+j_{2})!(j_{1}+j_{2}+s+1)!}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13506bdf1ef716e5ec0b76fb3df64582b02355eb)
где
![{\displaystyle \Delta _{j_{1}j_{2}j}={\frac {(j_{1}+j_{2}-j)!(j_{2}+j-j_{1})!(j+j_{1}+j_{2}+1)!}{(j_{1}-j_{2}+j)!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6c4cedf67e86b1e6896ff6f751a1921b3a51da)
Если
— целое число, то суммирование в этой формуле ведётся по целым значениям
, а если
— полуцелое число, то суммирование ведётся по полуцелым значениям
.
Коэффициенты Клебша — Гордана группы преобразований (обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана)
[править | править код]
Рассмотрим группу
и её представление. Выберем базисные вектора
и
неприводимых представлений
и
этой группы. Назовём неприводимым тензорным оператором (неприводимым тензором) совокупность
операторов
, если в результате преобразований
, образующих группу
, компоненты тензора
преобразуются друг через друга по неприводимым представлениям
этой группы, то есть она удовлетворяет следующему соотношению:
![{\displaystyle {\tilde {\hat {F}}}_{\chi }^{(k)}=\sum _{\chi '}D_{\chi '\chi }^{(k)}(g){\hat {F}}_{\chi '}^{(k)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0011b546d1e6ee6fa9206115e6c9a714434f41ae)
Векторы
, где
образуют базис представления
. Это представление, вообще говоря, является приводимым. Поэтому его можно представить в виде линейных комбинаций базисных векторов неприводимых представлений
, на которые разбивается прямое произведение представлений (указанное выше). Для этого используются обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы
.
![{\displaystyle |{\hat {F}}_{\chi }^{(k)}\psi _{\nu }^{(\beta )}\rangle =\sum _{\gamma \rho }\langle k\chi ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle \{{\hat {F}}^{(k)}\psi ^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/138d98b5c4862147fa1348512ed4c3681da49818)
Обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы определяются как коэффициенты в разложении базисных векторов неприводимых представлений
в линейную комбинацию прямого произведения представлений
.
![{\displaystyle \{V^{(\alpha )}V^{(\beta )}\}_{\rho }^{\gamma }=\sum _{\mu ,\;\nu }\langle \alpha \mu ,\;\beta \nu \vert \gamma \rho \rangle V_{\mu }^{(\alpha )}V_{\nu }^{(\beta )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a6b8b045d0a5ffdb80ea5b927bccdb84996d414)
где
— базисные векторы представлений
, а
— базисные векторы представления
:
.
- Из определения коэффициентов Клебша — Гордана следует:
.
- Коэффициенты Клебша — Гордана образуют унитарную матрицу.
Таблица с примерами для некоторых значений
и
(PDF, 70 kB) (Примечание: в данной таблице подразумевается, что от значения коэффициента нужно взять квадратный корень)
- Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. — Издательство Литература, 1963.
- Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-ое изд. — Наука, 1976. — 664 с.