Распределение Пуассона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Пуассона распределение»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Распределение Пуассона
Функция вероятностиФункция вероятности
Функция распределенияФункция распределения
Обозначение
Параметры
Носитель
Функция вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана
Мода , - 1
Дисперсия
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия
Производящая функция моментов
Характеристическая функция

Распределе́ние Пуассо́на — распределение дискретного типа случайной величины, представляющей собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Определение

[править | править код]

Выберем фиксированное число и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

,

где

  • — количество событий,
  •  — математическое ожидание случайной величины (среднее количество событий за фиксированный промежуток времени),
  • обозначает факториал числа ,
  •  — основание натурального логарифма.

Тот факт, что случайная величина имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием , записывается: или .

Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:

,

откуда

,
.

Для момента -го порядка справедлива общая формула:

,

где . Фигурные же скобки обозначают числа Стирлинга второго рода.

А так как моменты и факториальные моменты линейным образом связаны, то часто для пуассоновского распределения исследуются именно факториальные моменты, из которых при необходимости можно вывести и обычные моменты.

Свойства распределения Пуассона

[править | править код]
  • Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть . Тогда
.
  • Пусть , и . Тогда условное распределение при условии, что , биномиально. Более точно:
.
  • C увеличением распределение Пуассона стремится к распределению Гаусса со среднеквадратичным отклонением и сдвигом . Чтобы доказать это, нужно применить формулу Стирлинга для факториала, а затем воспользоваться разложением в ряд Тейлора в окрестности и тем, что в пределах пика распределения . Тогда получается
  • Производящая функция распределения Пуассона выглядит так:

Асимптотическое стремление к распределению

[править | править код]

Довольно часто в теории вероятностей рассматривают не само распределение Пуассона, а последовательность распределений, асимптотически равных ему. Более формально, рассматривают последовательность случайных величин , принимающих целочисленные значения, такую что для всякого выполнено при .

Простейшим примером является случай, когда имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха в каждом из испытаний.

Обратная связь с факториальными моментами

[править | править код]

Рассмотрим последовательность случайных величин , принимающих целые неотрицательные значения. Если при и любом фиксированном (где  — факториальный момент), то для всякого при выполнено .

Как пример нетривиального следствия этой теоремы можно привести, например, асимптотическое стремление к распределения количества изолированных рёбер (двухвершинных компонент связности) в случайном -вершинном графе, где каждое из рёбер включается в граф с вероятностью .[1]

Работа Симеона Дени Пуассона «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах»[2], в которой было введено данное распределение, была опубликована в 1837 году[3]. Примеры других ситуаций, которые можно смоделировать, применив это распределение: поломки оборудования, длительность исполнения ремонтных работ стабильно работающим сотрудником, ошибка печати, рост колонии бактерий в чашке Петри, дефекты в длинной ленте или цепи, импульсы счётчика радиоактивного излучения, количество забиваемых футбольной командой голов и др.[4]

Примечания

[править | править код]
  1. Видеолекция Школы Анализа Данных. Дата обращения: 7 декабря 2014. Архивировано 8 апреля 2014 года.
  2. Пуассон, 1837.
  3. Чукова Ю. П.  Распределение Пуассона // «Квант» : науч.-поп. физ.-мат. журн. — М.: «Наука», 1988. — № 8. — С. 15‒18. — ISSN 0130-2221.
  4. Винс, 2012, с. 370.

Литература

[править | править код]
  • Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — 480 с. — ISBN 978-5-406-00565-1. — С. 135.
  • Винс, Ральф. Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров = The mathematics of money management risk analysis techniques for traders. — М.: Альпина Паблишер, 2012. — 400 с. — ISBN 978-5-9614-1894-1.
  • Пуассон С. Д. Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах = Poisson S.-D. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. — Berlin: NG Verlag (Viatcheslav Demidov Inhaber), 2013. — 330 p. — ISBN 978-3-942944-29-8. [Poisson.pdf]. Архивировано 1 ноября 2014 года.
  • Guerriero V. Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics. — Journal of Modern Mathematics Frontier, 2012, 1. — P. 21—28. Архивная копия от 21 февраля 2018 на Wayback Machine