Ромбоикосододекаэдр
Ромбоикосододекаэдр | |||
---|---|---|---|
![]() (вращающаяся модель, 3D-модель) | |||
Тип | архимедово тело | ||
Свойства | выпуклый, изогональный | ||
Комбинаторика | |||
Элементы |
|
||
Грани |
20 треугольников 30 квадратов 12 пятиугольников |
||
Конфигурация вершины | 3.4.5.4 | ||
Двойственный многогранник | дельтоидальный гексеконтаэдр | ||
Классификация | |||
Обозначения | eD, aaD | ||
Символ Шлефли | rr{5,3} | ||
Группа симметрии | Ih (икосаэдрическая) | ||
![]() |
Ромбоикосододека́эдр[1][2][3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 62 гранями, составленный из 20 правильных треугольников, 30 квадратов и 12 правильных пятиугольников.
В каждой из его 60 одинаковых вершин сходятся одна пятиугольная грань, две квадратных и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен
Ромбоикосододекаэдр имеет 120 рёбер равной длины. При 60 рёбрах (между треугольной и квадратной гранями) двугранные углы равны при 60 рёбрах (между квадратной и пятиугольной гранями)
Ромбоикосододекаэдр можно представить либо как додекаэдр, усечённый по вершинам и рёбрам (при этом треугольники соответствуют вершинам додекаэдра, а квадраты — рёбрам), либо как икосаэдр, усечённый таким же образом (при этом пятиугольники соответствуют вершинам икосаэдра, а квадраты — рёбрам), либо же как усечённый икосододекаэдр.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Houghton_Typ_520.43.454%2C_crop_solid_and_owl.jpg/215px-Houghton_Typ_520.43.454%2C_crop_solid_and_owl.jpg)
В координатах
[править | править код]Ромбоикосододекаэдр с длиной ребра можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел
где — отношение золотого сечения.
Начало координат будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.
Метрические характеристики
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Rhombenikosidodekaeder_Rubik.svg/220px-Rhombenikosidodekaeder_Rubik.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/Rhombicosidodecahedron_at_Pennsylvania_Captitol_Building_in_Harrisburg_2.jpg/220px-Rhombicosidodecahedron_at_Pennsylvania_Captitol_Building_in_Harrisburg_2.jpg)
Если ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины , его площадь поверхности и объём выражаются как
Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
Вписать в ромбоикосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри ромбоикосододекаэдра с ребром (она будет касаться только всех пятиугольных граней в их центрах), равен
Расстояния от центра многогранника до квадратных и треугольных граней превосходят и равны соответственно
В культуре
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Zome_vertices.jpg/200px-Zome_vertices.jpg)
В наборах для моделирования пространственных фигур Zometool в качестве соединителей используются рёберные каркасы ромбоикосододекаэдра.
Примечания
[править | править код]- ↑ Веннинджер, 1974, с. 20, 38.
- ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 435.
- ↑ Люстерник, 1956, с. 184.
Литература
[править | править код]- М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
- Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447.
- Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.
Ссылки
[править | править код]- Weisstein, Eric W. Ромбоикосододекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.