Польское пространство

Польское пространство — пространство, гомеоморфное полному метрическому пространству со счётным плотным подмножеством.

Примеры польских пространств: вещественная прямая и любое открытое или замкнутое подмножество вещественной прямой, сепарабельное банахово пространство, множество Кантора.

Всякое замкнутое подмножество польского пространства и всякое открытое множество польского пространства — польские пространства. Прямое произведение польских пространств является польским пространством.

Любое G-дельта-множество из польского пространства — польское (теорема Александрова). Верно и обратное: если подмножество польского пространства — польское, то оно является G-дельта-множеством.

Между любыми двумя несчётными польскими пространствами существует борелевская биекция, то есть биекция, которая переводит борелевские множества в борелевские. В частности, каждое несчётное польское пространство имеет мощность континуума.

Теорема Кантора — Бендиксона: любое замкнутое подмножество в польском пространстве представляется в виде дизъюнктного объединения совершенного подмножества, счётного и открытого подмножества.

Литература

• В. Г. Кановей, В. А. Любецкий. Современная теория множеств: борелевские и проективные множества. — МЦНМО, 2010. — 320 с. — ISBN 78-5-94057-683-9.