Метод функции Грина

Метод функции Грина решения линейного дифференциального уравнения позволяет посредством нахождения соответствующей оператору этого уравнения функции Грина практически напрямую получить частное решение. Эффективность определяется возможностью записать функцию Грина в явном виде.

Решение через функцию Грина применяется в краевых задачах для уравнений эллиптического типа.

В физике метод находит применение при решении задачи об отклике физической системы на выводящее её из равновесия внешнее воздействие. В соответствии с принципом причинности, состояние системы полностью определяется её предысторией. Таким образом, для поиска состояния системы в данный момент требуется решить эволюционную задачу и возникающие в ней дифференциальные уравнения.

Если отклонение системы от состояния равновесия мало, то малы и нелинейные члены соответствующего разложения, значит реакцию системы можно изучать в рамках линейных уравнений. Поскольку основное состояние большинства рассматриваемых систем не меняется со временем, то возникающие уравнения имеют постоянные коэффициенты.

Уравнение с постоянными коэффициентами

Одномерное уравнение n-го порядка

Пусть для, в общем случае, полиномиального дифференциального оператора

$L=a_{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}+\ldots +a_{1}{\frac {d}{dt}}+a_{0}$

задано уравнение

$Lx(t)=\phi (t)\qquad (1)$

Функция Грина $G$ оператора $L$ определяется решением

$LG(t,t')=\delta (t-t')$

где $\delta$ — дельта-функция Дирака.

Так как $a_{i}$ не зависят от времени, вид уравнения при замене $t\rightarrow t-t'$ не меняется (соблюдается однородность по времени), поэтому функция Грина зависит от одного параметра: $G(t,t')\equiv G(t-t')$.

Запишем следующий интеграл, пользуясь свойством дельта-функции

$\int LG(t-t')\phi (t')\,dt'=\int \delta (t-t')\phi (t')\,dt'=\phi (t)$

Тогда, если рассматривать $t\in (-\infty ,\infty )$, полагая, что начальные условия за бесконечное время забываются, нетрудно установить, что решением уравнения (1) будет

$x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }dt'\,G(t-t')\phi (t')$

Можно сказать, что функция Грина таким образом определяет для момента времени $t$ влияние «ударного» воздействия на систему, прошедшего в момент времени $t'$.

Однако, функция Грина может быть выбрана неоднозначно, с точностью до решения однородного (с нулевой правой частью) уравнения (1). Принцип причинности же гласит, что система реагирует на воздействие приложенное в прошлом, но не в будущем. То есть $G(t,t')=0$ при $t<t'$.

Обозначим это ограничение с помощью функции Хевисайда $\theta (t)$ и найдём функцию Грина в виде

$G(t)=\theta (t)f(t)$

где $f(t)$ является решением однородного уравнения (1) и зависит от $n-1$ постоянных.

В случае, когда $L$ не вырожден, для $f(t)$ можно записать

$f(t)=\sum _{i}b_{i}\exp(-z_{i}t)$

Воспользуемся теперь тем, что (в силу свойств дельта-функции и её производных, а также некоторой симметрии бинома Ньютона)

$\int dt{\Big (}\theta (t)f(t){\Big )}^{(n)}=f^{(n-1)}(0)+\int dt\,\theta (t)f(t)$

Тогда, сокращая члены, удовлетворяющие однородному (1), получим

$\int dt\,LG(t)=\int dt\,\delta (t)\;\Leftrightarrow \;\sum _{k=0}^{n-1}a_{k+1}f^{(k)}(0)=1$

Можем считать, что

${\frac {d^{(n-1)}}{dt^{(n-1)}}}f(0)=1/a_{n};\;{\frac {d^{(k)}}{dt^{(k)}}}f(0)=0,\;k=0,1,\ldots ,n-2$

Записанное уже позволяет найти функцию Грина однозначно.

Теперь, если считать, что для времени $t=0$, когда началась эволюция системы, были заданы начальные условия, то уравнение перепишется

$Lx(t)=\phi (t)+\sum _{k=0}^{n-1}x^{(k)}(0)\delta ^{(n-1-k)}(t)$

Тогда

$x(t)=\sum _{k=0}^{n-1}x^{(k)}(0)G^{(n-k-1)}(t)+\int _{0}^{t}dt'\,G(t-t')\phi (t)$

Лишь последнее слагаемое здесь представляет собой вынужденное решение, вызываемое внешним воздействием.

Многомерное уравнение 1-го порядка

Рассмотрим линейное уравнение для векторной величины ${\boldsymbol {y}}$, где ${\hat {\Gamma }}$ — матрица, определяющая динамику системы:

${\dot {\boldsymbol {y}}}(t)+{\hat {\Gamma }}{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {\chi }}(t)$

К такому виду можно свести рассмотренное уравнение n-го порядка для скалярной величины $x$. для этого достаточно положить

${\boldsymbol {y}}_{i}(t)=x^{(i-1)}(t)$

считаем, что нумерация компонент начинается с единицы

Аналогично предыдущему случаю, запишем решение в виде

${\boldsymbol {y}}(t)=\int _{-\infty }^{t}dt'\,{\hat {G}}(t-t'){\boldsymbol {\chi }}(t')$

Для функции Грина, удовлетворяющей

$\left({\frac {d}{dt}}+{\hat {\Gamma }}\right){\hat {G}}(t)={\hat {1}}\,\delta (t)$

Решение ищется в виде

${\hat {G}}(t)=\theta (t)\exp(-{\hat {\Gamma }}t)$

Экспоненту от матрицы удобно искать при переходе к собственному базису оператора ${\hat {\Gamma }}$, где тот либо диагонален, либо содержит клетки Жордана (в случае вырожденных собственных значений).

Неоднородное по времени уравнение

Если система не находится в равновесии, то её состояние меняется со временем, что выражается во временной зависимости коэффициентов. Это значит, что функция Грина зависит от обоих переменных:

$LG(t,t')=\delta (t-t')$

И решение для

$G(t-t')=\theta (t-t')\exp(-\gamma t)$

Перепишется

$G(t,t')=\theta (t-t')\exp \left[-\int _{t'}^{t}d\tau \,\gamma (\tau )\right]$

Нетрудно видеть, что при постоянном $\gamma$ уравнение приобретает прежний вид.

В случае векторного уравнения

${\dot {\boldsymbol {y}}}+{\hat {\Gamma }}(t){\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {\chi }}(t)$

Матрицы ${\hat {\Gamma }}$ в различные моменты времени, вообще говоря, не коммутируют, поэтому решение запишется с помощью хронологически упорядоченной экспоненты

$G(t,t')=\theta (t-t')\,\mathrm {T} \exp \left[-\int _{t'}^{t}d\tau \,{\hat {\Gamma }}(\tau )\right]$

Литература

• Избранные главы математической физики; И.В. Колоколов и В.В. Лебедев
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.