Теорема Гротендика о расщеплении
Теорема Гротендика о расщеплении даёт классификацию голоморфных векторных расслоений над комплексной проективной прямой. А именно, она утверждает, что каждое голоморфное векторное расслоение над является прямой суммой голоморфных 1-мерных расслоений.
История
[править | править код]Теорема названа в честь Александра Гротендика, доказавшего её в 1957 году.[1] Она эквивалентна теореме, доказанной ранее Джорджем Биркгофом в 1913 году,[2] но была известна уже в 1908 году Йосипу Племелю[3] и в 1905 году Давиду Гильберту.[4]
Формулировки
[править | править код]- Формулировка Гротендика
Каждое голоморфное векторное расслоение над голоморфно изоморфно прямой сумме линейных расслоений:
где обозначает расслоение с классом Черна . Более того, это представление единственно с точностью до перестановки слагаемых.
- Формулировка Биркгофа
Обратимая матрица , каждая компонента которой является многочленом Лорана от , представляется в виде произведения
- ,
где матрица — многочлен от , — диагональная матрица, и матрица — многочлен от .
Приложения
[править | править код]- Теорема Гротендика о расщеплении используется в доказательстве Микалефа и Мура теоремы о сфере для положительной комплексифицированной кривизной в изотропных направлениях.
Вариации и обобщения
[править | править код]- Тот же результат имеет место для алгебраических векторных расслоений над для любого поля .[5]
Примечания
[править | править код]- ↑ Grothendieck, Alexander (1957), "Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann", American Journal of Mathematics, 79: 121•138, doi:10.2307/2372388.
- ↑ Birkhoff, George David (1909), "Singular points of ordinary linear differential equations", Transactions of the American Mathematical Society, 10 (4): 436—470, doi:10.2307/1988594, ISSN 0002-9947
- ↑ Plemelj, J. Riemannsche Funktionenscharen mit gegebener Monodromiegruppe. Monatsh. Math. Phys. 19 (1908), no. 1, 211–245.
- ↑ Hilbert D. Grundzüge einer allgemeinen theorie der linearen integralgleichungen. vierte mitteilung. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. 1906:157-228.
- ↑ Hazewinkel, Michiel; Martin, Clyde F. (1982), "A short elementary proof of Grothendieck's theorem on algebraic vectorbundles over the projective line", Journal of Pure and Applied Algebra, 25 (2): 207—211, doi:10.1016/0022-4049(82)90037-8
Литература
[править | править код]- Okonek, C.; Schneider, M.; Spindler, H. (1980), Vector bundles on complex projective spaces, Progress in Mathematics, Birkhäuser.