У этого термина существуют и другие значения, см.
Теорема Пика.
Теорема Пика, или теорема Шварца — Пика — инвариантная формулировка и обобщение леммы Шварца.
Пусть
— регулярная аналитическая функция из единичного круга в единичный круг
![{\displaystyle Q=\left\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\right\};\;f:Q\to Q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/832310fa517b42102d3389cf2ec0a5a014dc447d)
Тогда для любых точек
и
круга
расстояние в конформно-евклидовой модели плоскости Лобачевского между их образами не превосходит расстояния между ними:
.
Более того, равенство достигается только в том случае, когда
есть дробно-линейная функция, отображающая круг
на себя.
Поскольку
![{\displaystyle \mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d(z,\;w)]={\frac {\left|z-w\right|}{\left|1-{\overline {z}}\cdot w\right|}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68830704bcf3da0fb5ea7048f5147e3a9ae33aa0)
условие
![{\displaystyle d(w_{1},\;w_{2})\leqslant d(z_{1},\;z_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce9d8290e7f43418585ddcae6422b3ea98f00ba)
эквивалентно следующему неравенству:
![{\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leqslant {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1}}}z_{2}\right|}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b906c36f764eef86204c2376489f4221a4a9832)
Если
и
бесконечно близки, оно превращается в
![{\displaystyle {\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leqslant {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91cc314b2b69d854a76586a7d3f80c87571f657e)
- Рick G. Mathematische Annalen. — 1916. — Bd 77. — S. 1—6.
- Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — 2 изд. — М., 1966.