Накрытие

Пример накрытия: накрытие $\mathbb {R} \to S^{1}$ окружности $S^{1}$ спиралью, гомеоморфной пространству вещественных чисел $\mathbb {R}$

Накрытие — непрерывное сюръективное отображение $p:X\to Y$ линейно связного пространства $X$ на линейно связное пространство $Y$, такое, что у любой точки $y\in Y$ найдётся окрестность $U\subset Y$, полный прообраз которой $p^{-1}(U)$ представляет собой объединение попарно непересекающихся областей $V_{k}\subset X$:

$p^{-1}(U)=V_{1}\cup V_{2}\cup \dots$,

причём на каждой области $V_{k}$ отображение $p:\,V_{k}\to U$ является гомеоморфизмом между $V_{k}$ и $U$.

Формальное определение

Отображение $p:X\to Y$ линейно связного пространства $X$ на линейно связное пространство $Y$ называется накрытием, если у любой точки $y\in Y$ имеется окрестность $U\subset Y$, для которой существует гомеоморфизм $h:p^{-1}(U)\to U\times \Gamma$, где $\Gamma$ — дискретное пространство, такое что если $\pi :U\times \Gamma \to U$ обозначает естественную проекцию, то

$p|_{p^{-1}(U)}=\pi \circ h$.

Связанные определения

• Пространство $Y$ называется базой накрытия, а $X$ — пространством накрытия (или накрывающим пространством).
• Прообраз $p^{-1}(y)$ точки $y\in Y$ называют слоем над точкой $y$.
• Число областей $V_{k}$ в полном прообразе $p^{-1}(U)$ называется числом листов.
  • Если это число конечно и равно $n$, то накрытие называется $n$-листным.
• Накрытие $p\colon {\tilde {Y}}\to Y$ называется универсальным если для любого другого накрытия $q\colon X\to Y$ существует накрытие $s\colon {\tilde {Y}}\to X$ такое, что $p=q\circ s$.

Примеры

• Пусть $S^{1}$ обозначает единичную окружность комплексной плоскости $S^{1}=\{z\in {\mathbb {C} ||z|=1}\}$.
  • $p:{\mathbb {R} }\to S^{1}$,   $p:x\mapsto e^{2\pi ix}$.
  • $p:S^{1}\to S^{1}$,   $p:z\mapsto z^{k}$, где $k\neq 0$, $k\in {\mathbb {Z} }$.

Свойства

• Накрытия являются локальными гомеоморфизмами
• Накрытия являются частным случаем локально тривиальных расслоений. Их можно рассматривать как локально тривиальные расслоения с дискретным слоем.
• Все двулистные накрытия регулярны.
• Универсальное накрытие регулярно.

Связь с фундаментальной группой

Обычно накрытие рассматривается в предположении связности $X$ и $Y$ и также локальной односвязности $Y$. При этих предположениях устанавливается связь между фундаментальными группами $\pi _{1}(X,x_{0})$ и $\pi _{1}(Y,y_{0})$: если $p(x_{0})=y_{0}$, то индуцированный гомоморфизм $p:\pi _{1}(X,x_{0})\to \pi _{1}(Y,y_{0})$, отображает $\pi _{1}(X,x_{0})$ изоморфно на подгруппу в $\pi _{1}(Y,y_{0})$ и, меняя точку $x_{0}$ в $p^{-1}(y_{0})$, можно получить в точности все подгруппы из некоторого класса сопряжённых подгрупп.

Если этот класс состоит из одной подгруппы $H$ (то есть $H$ — нормальный делитель), то накрытие называется регулярным. В этом случае возникает свободное действие группы $G=\pi _{1}(Y,y_{0})/H$ на $X$, причём $p$ оказывается факторотображением на пространство орбит $Y$. Вообще, свободные действия дискретных групп — обычный источник регулярных накрытий (над пространством орбит, хотя и не всякое такое действие задает накрытие, пространство орбит может оказаться неотделимым), но это так для конечных групп. Это действие порождается поднятием петель: если петле $q:[0,1]\to Y$, $q(0)=q(1)=y_{0}$, сопоставить единственный путь ${\tilde {q}}:[0,1]\to X$, для которого ${\tilde {q}}(0)=x_{0}$ и $p{\tilde {q}}=q$, то точка ${\tilde {q}}(1)$ будет зависеть только от класса этой петли в $G$ и от точки $x_{0}$. Таким образом, элементу из $G$ отвечает перестановка точек в $p^{-1}(y_{0})$. Эта перестановка не имеет неподвижных точек и непрерывно зависит от точки $y_{0}$. Это определяет гомеоморфизм $X$, коммутирующий с $p$.

Гавайская серьга — пример пространства, не имеющего универсального накрытия

Пространство неодносвязного универсального накрытия

В общем случае эта конструкция определяет лишь перестановку в $p^{-1}(y_{0})$, то есть имеется действие $\pi _{1}(Y,y_{0})$ на $p^{-1}(y_{0})$, называемое монодромией накрытия. Частным случаем регулярного накрытия является универсальное накрытие, для которого $G=\pi _{1}(Y,y_{0})$ или, что эквивалентно, X — односвязно.

Вообще, по каждой группе $H\subset \pi _{1}(Y,y_{0})$ однозначно строится накрытие $p:X\to Y$, для которого образ $\pi _{1}(X,x_{0})$ есть $H$.

Для любого отображения $f$ линейно связного пространства $(Z,z_{0})$ в $(Y,y_{0})$ поднятие его до отображения ${\tilde {f}}:(Z,z_{0})\to (X,x_{0})$ существует тогда и только тогда, когда образ $f(\pi _{1}(Z,z_{0}))$ лежит в $H$. Между накрытиями $Y$ имеется отношение частичного порядка (накрытие накрытия есть накрытие), двойственное включению подгрупп в $\pi _{1}(Y,y_{0})$. В частности, универсальное накрытие является единственным максимальным элементом.

Литература

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1986.
• Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — (Библиотечка «Квант», вып. 21).