Пфа́ффово уравнение — уравнение вида
, где
— дифференциальная 1-форма (пфаффова форма) на касательном расслоении многообразия
размерности
. Названы в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.
Если на многообразии
введены (локальные) координаты
, то пфаффово уравнение (локально) имеет вид
![{\displaystyle a_{1}(x)\,dx_{1}+a_{2}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{n}(x)\,dx_{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a331d343b06512b091d907110cae2a9270a2d7)
где
— скалярные функции, заданные на
.
Простейшим примером является дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в так называемой симметричной форме:
.
Пфа́ффова система (система пфаффовых уравнений) — система уравнений вида
, где
— дифференциальные 1-формы на касательном расслоении многообразия
размерности
. В координатах пфаффова система имеет вид
Рангом пфаффовой системы в точке
называется число
, равное рангу матрицы
. Обычно бывает
.
Пфаффова система (*) задаёт в касательном пространстве
векторное подпространство размерности
, которое называется допустимым подпространством в данной точке. Построенное таким образом поле допустимых подпространств на
называется распределением, соответствующим пфаффовой системе (*). В частности, при
распределение является полем направлений на
, при
распределение является полем двумерных плоскостей, а при
распределение является полем гиперплоскостей.
Пфаффовы системы являются обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка: выбрав среди координат
одну (например,
) в качестве «независимой переменной» и разделив уравнения системы (*) на
, получаем систему ОДУ первого порядка:
где
.
Геометрически, переход от системы (*) к системе (**) означает переход от однородных координат
к неоднородным координатам в проективизированных касательных пространствах к многообразию
.
Основная задача, связанная с пфаффовыми системами, состоит в нахождении их интегральных поверхностей — поверхностей (подмногообразий) размерностей
в многообразии
, на которых удовлетворяются все уравнения системы (*). Геометрически это означает, что интегральная поверхность
в каждой точке касается допустимого подпространства, задаваемого системой (*), т. е. касательное пространство к
содержится в допустимом подпространстве системы (*).
Пфаффова система (*) постоянного ранга
называется вполне интегрируемой, если через каждую точку многообразия
проходит интегральная поверхность
максимально возможной размерности
.
В окрестности любой точки вполне интегрируемая система ранга
с помощью выбора подходящих локальных координат на многообразии
приводится к каноническому виду
![{\displaystyle dx_{1}=0,\ dx_{2}=0,\,\ldots ,\,dx_{m}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d1af7d1a54d899684c56c7efc6d2be371721eeb)
Необходимое и достаточное условие полной интегрируемости даёт теорема Фробениуса. В применении к пфаффовой системе (*) это условие можно выразить следующим образом:
![{\displaystyle \omega _{1}\wedge \dots \wedge \omega _{m}\wedge d\omega _{i}=0\quad \ i=1,\ldots ,m,\qquad \qquad (***)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fde478c318b8b468260de8f7f67c2ae0ac77efe)
где
означает внешний дифференциал 1-формы и
означает внешнее произведение форм.
- Пфаффово уравнение
вполне интегрируемо: его интегральные поверхности — плоскости
в трёхмерном пространстве. С помощью замены
это уравнение приводится к каноническому виду
Условие (***) теоремы Фробениуса в этом случае, очевидно, выполнено, так как ![{\displaystyle d\omega =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/720de4ef2a4f3e6f87bbc98368c22c735d274c3e)
- Пфаффово уравнение
не является вполне интегрируемым. В этом случае
и условие (***) теоремы Фробениуса не выполнено:
![{\displaystyle \omega \wedge d\omega =(x_{3}\,dx_{1}+dx_{2})\wedge (dx_{3}\wedge dx_{1})=dx_{1}\wedge dx_{2}\wedge dx_{3}\neq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50baf0f77a1471f546443beaeaa1f9d3dfc7aad4)
- Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными, — Любое издание.
- Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.