Ме́тод Крамера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)[1].
Для системы
линейных уравнений с
неизвестными (над произвольным полем)
![{\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/814be533c5624c39a8d96841d0363e69a035200c)
с определителем матрицы системы
, отличным от нуля, решение записывается в виде
![{\displaystyle x_{i}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&\ldots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n-1,1}&\ldots &a_{n-1,i-1}&b_{n-1}&a_{n-1,i+1}&\ldots &a_{n-1,n}\\a_{n1}&\ldots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\ldots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6c132a9f96984f86547420d94d977b81a194ae)
(
-й столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:
![{\displaystyle (c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots +c_{n}x_{n})\cdot \Delta =-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}&b_{2}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}&b_{n}\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&0\\\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d609808e322b2dcab93f4163a13e715b98ea2f0f)
В такой форме метод Крамера справедлив без предположения, что
отличен от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы
и
, либо набор
состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.
Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами:
![{\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_{1}\\a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_{2}\\a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_{3}\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a864b6163d767ec941cff8620849ed4a3f99311b)
Определители:
![{\textstyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{x}={\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/133f610b4adf08db02573568e581d525d133d528)
![{\displaystyle \Delta _{y}={\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{z}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&b_{3}\\\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a4a160d18004813ec4a025654e1afadc13c768)
В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы.
Решение:
![{\displaystyle x={\frac {\Delta _{x}}{\Delta }},\ \ y={\frac {\Delta _{y}}{\Delta }},\ \ z={\frac {\Delta _{z}}{\Delta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91fc8554669571b2312186329666c69c469b4bb7)
Пример:
![{\displaystyle {\begin{cases}2x+5y+4z=30\\x+3y+2z=150\\2x+10y+9z=110\\\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3399ff14cfe5280fc504b4ea904ce8828766f1a5)
Определители:
![{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}2&5&4\\1&3&2\\2&10&9\\\end{vmatrix}}=5,\ \ \Delta _{x}={\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\110&10&9\\\end{vmatrix}}=-760,\ \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f12c4bf1a9e5d84a9bafdf2ca2de7b45c421535)
![{\displaystyle \Delta _{y}={\begin{vmatrix}2&30&4\\1&150&2\\2&110&9\\\end{vmatrix}}=1350,\ \ \Delta _{z}={\begin{vmatrix}2&5&30\\1&3&150\\2&10&110\\\end{vmatrix}}=-1270.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df65e9c263e8da594fe125ac9bc80a27898dec5e)
Метод Крамера требует вычисления
определителей порядка
. При использовании метода Гаусса для вычисления определителей метод имеет сложность по элементарным операциям сложения-умножения порядка
, что сложнее, чем метод Гаусса при прямом решении системы. Поэтому метод, с точки зрения затрат времени на вычисления, считался непрактичным. Однако в 2010 году было показано, что метод Крамера может быть реализован со сложностью
, сравнимой со сложностью метода Гаусса[2].
- Мальцев И. А. Основы линейной алгебры. — Изд. 3-е, перераб., М.: «Наука», 1970. — 400 c.
- ↑ Cramer, Gabriel. Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques (фр.) 656–659. Geneva: Europeana (1750). Дата обращения: 18 мая 2012.
- ↑ Ken Habgood and Itamar Arel. 2010. Revisiting Cramer's rule for solving dense linear systems. In Proceedings of the 2010 Spring Simulation Multiconference (SpringSim '10)
![Перейти к шаблону «Методы решения СЛАУ»](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png) |
---|
Прямые методы | |
---|
Итерационные методы | |
---|
Общее | |
---|