Чебышёвский альтернанс
Чебышёвский альтерна́нс (или просто альтерна́нс) (от фр. alternance — «чередование») — в математике такой набор точек , в которых непрерывная функция одной переменной последовательно принимает своё максимальное по модулю значение, при этом знаки функции в этих точках — чередуются.
Такая конструкция впервые встретилась в теореме о характеризации полинома наилучшего приближения, открытой П. Л. Чебышёвым в XIX веке. Сам термин альтернанс был введён И. П. Натансоном в 1950-е годы.
Теорема Чебышёва об альтернансе
[править | править код]Чтобы многочлен степени был многочленом наилучшего равномерного приближения непрерывной функции , необходимо и достаточно существования на по крайней мере точек таких, что
,
где одновременно для всех .
Точки , удовлетворяющие условиям теоремы, называются точками чебышёвского альтернанса.
Пример приближения функции
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/06/%D0%9D%D0%B0%D0%B8%D0%BB%D1%83%D1%87%D1%88%D0%B5%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5.png/590px-%D0%9D%D0%B0%D0%B8%D0%BB%D1%83%D1%87%D1%88%D0%B5%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B1%D0%BB%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5.png)
Допустим, что необходимо приблизить функцию квадратного корня с помощью линейной функции (многочлена первой степени) на интервале (1, 64). Из условия теоремы, нам необходимо найти (в рассматриваемом случае — 3) точек чебышёвского альтернанса. Поэтому, в силу выпуклости разности квадратного корня и линейной функции, таковыми точками являются единственная точка экстремума этой разности и концы интервала, на котором происходит приближение функции. Обозначим . — точка экстремума. Тогда имеют место следующие уравнения:
Здесь — разности между значениями функции и многочлена. Вычитая первое уравнение из третьего, можно получить, что
Так как — точка экстремума, а линейная функция и функция квадратного корня непрерывны и дифференцируемы, определить значение можно из следующего уравнения:
Отсюда
Теперь можно вычислить
Следовательно, наилучшее линейное приближение функции на интервале от 1 до 64:
.
См. также
[править | править код]Литература
[править | править код]- Бахвалов, Н. С.; Жидков, Н. П.; Кобельков, Г. Н. Численные методы
- Ульянов, М. В. Ресурсно-эффективные компьютерные алгоритмы.