Бреннстрём начал свою карьеру в юношеской команде ХВ71. Вскоре Эрик дорос уже до молодежной команды ХВ71 U20.[1] В сезоне 2015-2016 Бреннстрём дебютировал в Шведской хоккейной лиге.[2]
23 июня 2017 года Бреннстрём был выбран на драфте НХЛ 2017 года в 1-м раунде под общим 15-м номером клубом «Вегас Голден Найтс». 16 июля 2017 года Эрик подписал контракт новичка с «Вегасом» на три года.[3]
25 февраля 2019 года Эрик оказался частью сделки между «Голден Найтс» и «Оттава Сенаторз», по условиям которой права на него были отданы клубу из Канады в обмен на нападающего Марка Стоуна[4]. 14 марта 2019 года Бреннстрём дебютировал в НХЛ в матче против команды «Сент-Луис Блюз».