Пусть — гладкая, ограниченнаяполнаяповерхность. Пусть далее на задана функция . Рассмотрим разбиение этой поверхности на части кусочно-гладкими кривыми и на каждой такой части выберем произвольную точку . Вычислив значение функции в этой точке и, приняв за площадь поверхности, рассмотрим сумму
Тогда число называется пределом сумм , если
Предел сумм при называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности и обозначается следующим образом:
Пусть на поверхности можно ввести единую параметризацию посредством функций
заданных в ограниченной замкнутой области плоскости и принадлежащих классу в этой области. Если функция непрерывна на поверхности , то поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхности существует и может быть вычислен по формуле
Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности. Пусть функции и интегрируемы по областям . Тогда:
Рассмотрим двустороннюю поверхность, гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух её сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.
Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением причём точка изменяется в области на плоскости , ограниченной кусочно-гладким контуром.
Пусть теперь в точках данной поверхности определена некоторая функция . Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части и выбрав на каждой такой части точку , вычислим значение функции в данной точке и умножим его на площадь проекции на плоскость элемента , снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму
Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от
распространённым на выбранную сторону поверхности , и обозначают символом
(здесь напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость ).
Если вместо плоскости спроектировать элементы поверхности на плоскость или , то получим два других поверхностных интеграла второго типа:
или
В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:
где суть функции от , определённые в точках поверхности .
Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода[править | править код]
где — единичный вектор нормали поверхности , — орт.
Фихтенгольц, Г. М.Глава 17. Поверхностные интегралы // [Курс дифференциального и интегрального исчисления]. — Т. 3.
Ильин, В. А., Позняк, Э. Г.Глава 5. Поверхностные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).