Ёмкость Минковского
Ёмкость Минковского — основное понятие в геометрической теории меры, обобщающее на произвольные измеримые множества понятия длины кривой на плоскости и площади поверхности в пространстве.
Ёмкость обычно применяется для фрактальных границ областей в евклидовом пространстве, но имеет смысл в контексте общих метрических пространств с мерой.
Названа в честь Германа Минковского.
Определение
[править | править код]Пусть метрическое пространство с мерой, где является метрикой на , а — это борелевская мера. Для подмножества в и вещественного ε > 0, обозначим через
его замкнутую -окрестность. Нижняя ёмкость Минковского коразмерности определяется как нижний предел
и верхняя ёмкость Минковского коразмерности как верхий предел
Если , то их общее значение называется ёмкостью Минковского коразмерности A по мере μ, и обозначается .
Свойства
[править | править код]- Если есть замкнутое -спрямляемое множество в , то ёмкость Минковского по отношению к объёму на существует и совпадает с его -мерной мерой Хаусдорфа с точностью до нормализации.
См. также
[править | править код]Ссылки
[править | править код]- Федерер, Герберт, Геометрическая теория меры.