Аксиоматика Бахмана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Аксиоматика Бахмана — система аксиом нейтральной и Евклидовой геометрий, построенная на понятии групп движений. Предложенная Фридрихом Бахманом.[1]

Обозначения

[править | править код]

Переместительность двух элементов в группе, то есть выполнение тождества будет обозначаться ; при этом означает одновременное выполнение , , и .

Дана группа с выделенной инвариантной системой образующих состоящая из инволютивных элементов. Элементы из обозначаются малыми латинскими буквами. Те инволютивные элементы из , которые представимы как произведение двух элементов из (то есть элементы вида , где ) обозначаются большими латинскими буквами.

Нейтральная геометрия

[править | править код]

Аксиома 1. Для любых , найдется такой, что .

Аксиома 2. Из следует, что или .

Аксиома 3. Если , то существует элемент такой,что .

Аксиома 4. Если , то существует элемент такой,что .

Аксиома D. Существуют такие, что , и не имеет места ни одно из соотношений , , .

Связь с обычными аксиомами

[править | править код]

Этой системе аксиом удовлетворяют группы евклидовой и неевклидовых плоскостей, если принять за множество осевых симметрии. При этом те инволютивные элементы группы, которые представимы как произведение двух элементов из , окажутся при этом центральными симметриями.

Таким образом множество можно отождествить с множеством прямых на плоскости, а множество инволютивных элементов группы представимых как произведение двух элементов из с множеством точек.

При этом,

  • соотношение означает то что точка лежит на прямой .
  • соотношение означает то что прямая перпендикулярна прямой ;
    • в этом случае есть точка пересечения и .

Евклидова геометрия

[править | править код]

Система для евклидовой геометрии пополняется двумя аксиомами

Аксиома R. Из и следует .

Аксиома V. Для любых всегда найдется , что , или найдется такая прямая , что .

Примечания

[править | править код]
  1. Фридрих Бахман. Построение геометрии на основе понятия симметрии. — 1969.