Асимптотическая формула Вейля

Асимптотическая формула Вейля связывает объём риманова многообразия с асимптотическим поведением собственных значений его лапласиана.

История

Соотношение было получено Германом Вейлем в 1911 году. Изначально оно формулировалось только для областей евклидова пространства. В 1912 году он представил новое доказательство на основе вариационных методов.

Формулировка

Пусть $\Omega$ — $d$-мерное риманово многообразие. Обозначим через $N(\lambda )$ число собственных значений (с учётом кратности), не превосходящих $\lambda$, для задачи Дирихле на $\Omega$. Тогда

$N(\lambda )={\frac {\omega _{d}}{(2\pi )^{d}}}\cdot \operatorname {vol} \Omega \cdot \lambda ^{d/2}+o(\lambda ^{d/2})$,

где $\omega _{d}$ обозначает объем единичного шара в $d$-мерном евклидовом пространстве.

Уточнения

Оценка на остаточный член была многократно улучшена.

• В 1922 г. Рихард Курант улучшил её до $O(\lambda ^{(d-1)/2}\log \lambda )$.
• В 1952 году Борис Левитан доказал более жесткое ограничение $O(\lambda ^{(d-1)/2})$ для замкнутых многообразий.
• Роберт Сили обобщил эту оценку, в частности, включил определенные евклидовы области, в 1978 году.

Предположительно, следующий член в асимптотике при $\lambda ^{(d-1)/2}$ пропорционален площади границы $\Omega$. С учётом этого члена, оценка на остаточный член должна быть $o(\lambda ^{(d-1)/2})$. В частности, при условии отсутствия границы оценка на остаточный член в формуле выше должна быть $o(\lambda ^{(d-1)/2})$.

• В 1975 году Ганс Дейстермаат и Виктор Гийемин доказали оценку $o(\lambda ^{(d-1)/2})$ при некоторых дополнительных условиях общего положения.
  • Последнее было обобщенно Виктором Иврием в 1980 году. Это обобщение предполагает, что множество периодических траекторий бильярда в $\Omega$ имеет меру 0. Последнее, возможно, выполняется для всех ограниченных евклидовых областей с гладкими границами.