Гамма-сходимость

Γ-сходимость (Гамма-сходимость) – концепция сходимости функционалов, возникающая в вариационном исчислении, а также при изучении дифференциальных уравнений в частных производных.

Определение

Пусть $X$ – топологическое пространство. Тогда последовательность функционалов $F_{n}:X\to [0,+\infty )$ Γ-сходится к $F$ , если

Для любой последовательности $x_{n}\in X$ , такой что $x_{n}\to x$ при $n\to \infty$ ,

F(x)\leq \liminf \limits _{n\to \infty }F_{n}\left(x_{n}\right)

.

Для любого $x\in X$ существует последовательность $x_{n}$ , сходящаяся к $x$ , такая что

F(x)\geq \limsup \limits _{n\to \infty }F_{n}\left(x_{n}\right)

.

Первое условие означает что $F$ является асимптотической нижней гранью $F_{n}$ . Второе условие означает что эта нижняя грань является точной.

Свойства

Сходимость минимизирующих последовательностей: если $F_{n}$ Γ-сходится к $F$ , и если $x_{n}$ является минимизирующей последовательностью $F_{n}$ , тогда любая предельная точка последовательности $x_{n}$ является (локальным) минимумом $F$ .
Γ-предел всегда является слабо полунепрерывным снизу (а следовательно, и полунепрерывным снизу).
Γ-сходимость стабильна относительно непрерывных возмущений: Если $F_{n}$ Γ-сходится к $F$ , и если $G:X\to [0,+\infty )$ – непрерывна, тогда $F_{n}+G$ Γ-сходится к $F+G$ .
Постоянная последовательность $F_{n}=F$ не обязательно Γ-сходится к $F$ . Тем не менее, она сходится к "релаксации" $F$ – к наибольшему полунепрерывному снизу функционалу, ограниченному сверху функционалом $F$ .