Гармоническое число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Гармоническое число , где (красная линия) и его асимптотический предел (синяя линия).

В математике nгармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:

Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.

Изучение гармонических чисел началось в античности. Они имеют важное значение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, в частности, тесно связаны с дзета-функцией Римана.

Альтернативные определения

[править | править код]
  • Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом:
  • Также верно соотношение:
    ,
    где  — дигамма-функция,  — постоянная Эйлера — Маскерони.
  • Еще соотношения:
    где в точке - верхняя конечная разность n-го порядка функции .

Дополнительные представления

[править | править код]

Нижеследующие формулы могут быть использованы для вычисления гармонических чисел (в том числе и в точках, отличных от точек натурального ряда):

  • интегральные представления:
  • предельные представления:
    ;
  • разложение в ряд Тейлора в точке :
    где  — дзета-функция Римана;
  • асимптотическое разложение:
    .

Производящая функция

[править | править код]

Значения от нецелого аргумента

[править | править код]
где  — золотое сечение.

Суммы, связанные с гармоническими числами

[править | править код]

Тождества, связанные с гармоническими числами

[править | править код]
  • , где
  • , где

Приближённое вычисление

[править | править код]

С помощью формулы суммирования Эйлера-Маклорена получаем следующую формулу:

где ,  — постоянная Эйлера, которую можно вычислить быстрее из других соображений[каких?], а  — числа Бернулли.

Теоретико-числовые свойства

[править | править код]
  • Теорема Вольстенхольма утверждает, что для всякого простого числа выполняется сравнение:

Некоторые значения гармонических чисел

[править | править код]

Числитель и знаменатель несократимой дроби, представляющей собой n-e гармоническое число, являются n-ми членами целочисленных последовательностей A001008 и A002805, соответственно.

Приложения

[править | править код]

В 2002 году Lagarias доказал[1], что гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана эквивалентна утверждению, что неравенство

верно при всех целых со строгим неравенством при , где  — сумма делителей числа .

Примечания

[править | править код]
  1. Jeffrey Lagarias. An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis // Amer. Math. Monthly. — 2002. — № 109. — С. 534-543. Архивировано 27 июня 2021 года.