Лемма Йонеды

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Лемма Йонеды (Ёнэды) — результат о функторе Hom; теоретико-категорное обобщение классической теорико-групповой теоремы Кэли (если рассматривать группу как категорию из одного объекта). Лемма позволяет рассмотреть вложение произвольной категории в категорию функторов из неё в категорию множеств. Является важным инструментом, позволившим получить множество результатов в алгебраической геометрии и теории представлений.

Названа Саундерсом Маклейном в честь Нобуо Ёнэды, сообщившего ему этот результат в частной беседе в 1954 или 1955 году.

Общий случай

[править | править код]

В произвольной (локально малой) категории для данного объекта можно рассмотреть ковариантный функтор Hom, обозначаемый:

.

Лемма Йонеды утверждает, что для любого объекта категории , естественные преобразования из в произвольный функтор из категории в категорию множеств находятся во взаимно-однозначном соответствии с элементами :

.

Для данного естественного преобразования из в соответствующий элемент  — это , то есть естественное преобразование однозначно определяется образом тождественного морфизма.

Контравариантная версия леммы рассматривает контравариантный функтор:

,

отправляющий во множество . Для произвольного контравариантного функтора из в

.

Используется мнемоническое правило «падать во что-то» при рассмотрении морфизмов в зафиксированный объект.

Доказательство леммы Йонеды представлено на следующей коммутативной диаграмме:

Доказательство леммы Йонеды

Диаграмма показывает, что естественное преобразование полностью определяется , так как для любого морфизма :

.

Более того, эта формула задаёт естественное преобразование для любого (так как диаграмма коммутативна). Доказательство контравариантного случая аналогично.

Вложение Йонеды

[править | править код]

Частный случай леммы Йонеды — когда функтор также является функтором Hom. В этом случае ковариантная версия леммы Йонеды утверждает, что:

.

Отображение каждого объекта категории в соответствующий Hom-функтор и каждый морфизм в соответствующее естественное преобразование задаёт контравариантный функтор из в , либо ковариантный функтор:

.

В этой ситуации лемма Йонеды утверждает, что  — вполне унивалентный функтор, то есть задаёт вложение в категорию функторов в .

В контравариантном случае по лемме Йонеды:

.

Следовательно задаёт вполне унивалентный ковариантный функтор (вложение Йонеды):

.

Литература

[править | править код]
  • Freyd, Peter (1964), Abelian categories, Harper's Series in Modern Mathematics (2003 reprint ed.), Harper and Row, Zbl 0121.02103
  • Mac Lane, Sounders. The Yoneda Lemma (англ.). — 1998. — Vol. 47, no. 1. — P. 155—156.
  • Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.