Липшицево отображение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Липшицево отображение (липшицевское отображение[1], также -липшицево отображение) — отображение, увеличивающее расстояние между образами точек не более чем в раз, где называется константой Липшица данной функции. Названо в честь Рудольфа Липшица.

Определение

[править | править код]

Отображение метрического пространства в метрическое пространство называется липшицевым, если найдётся такая константа (константа Липшица этого отображения), что при любых . Это условие называют условием Липшица. Отображение с (1-липшицево отображение) называют также коротким отображением.

Липшицево отображение называется билипшицевым, если у него существует обратное , которое также является липшицевым.

Отображение называется колипшицевым, если существует константа такая, что для любых и найдётся такое, что .

Отображения со свойством:

впервые рассматривалось Липшицем в 1864 году для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при , а при условием Гёльдера.

  • Суперпозиция липшицевой и интегрируемой функции интегрируема.
  • Теорема Радемахера утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.
  • Теорема Киршбрауна о продолжении утверждает, что любое -липшицевское отображение из подмножества евклидова пространства в другое евклидово пространство может быть продолжено до -липшицевского отображения на всё пространство.

Вариации и обобщения

[править | править код]
  • Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица эквивалентно условию .
  • Показатель Гёльдера

Примечания

[править | править код]
  1. Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.