Многозначное отображение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Многозначное отображение — разновидность математического понятия отображения (функции). Пусть и  — произвольные множества, а  — совокупность всех подмножеств множества Многозначным отображением из множества в называется всякое отображение Обычно областью определения многозначного отображения является подмножество , а областью значений — пространство состоящее из непустых компактных подмножеств множества то есть

  • Пример 1. Пусть . Ставя в соответствие каждому значению отрезок мы получаем многозначное отображение
  • Пример 2. Пусть  — непрерывная функция. Положим и Ставя в соответствие каждому значению множество мы получаем многозначное отображение

Многозначные отображения находят приложения в различных областях математики: негладком и выпуклом анализе, теории дифференциальных уравнений, теории управления, теории игр и математической экономике.

Связанные определения и свойства

[править | править код]
  • Пространство является метрическим с метрикой Хаусдорфа. Это позволяет ввести понятие непрерывного многозначного отображения.
  • Рассматривая для каждого опорную функцию множества мы получим вещественнозначную функцию от двух аргументов: и , где звёздочка означает сопряжённое пространство.
  • Многозначное отображение непрерывно тогда и только тогда, когда его опорная функция непрерывна по переменной для каждого фиксированного .
  • Многозначное отображение называется измеримым, если его опорная функция измерима по переменной для каждого фиксированного .
  • Однозначной ветвью или селектором многозначного отображения называется такая функция что для любого
  • Лемма Филиппова: у любого измеримого многозначного отображения существует измеримый селектор. Лемма Филиппова имеет многочисленные приложения. В частности, она позволяет установить существование оптимального управления для широкого класса задач в теории управляемых систем.
  • Многозначное отображение называется полунепрерывным сверху (по включению) в точке , если для любой окрестности множества (обозначим её ) существует такая окрестность точки (обозначим её ), что для любого Многозначное отображение называется полунепрерывным сверху (по включению), если оно является полунепрерывным сверху в каждой точке Непрерывное многозначное отображение (определение с помощью метрики Хаусдорфа) является полунепрерывным сверху.
  • Теорема Какутани: Пусть  — непустое, компактное, выпуклое подмножество и многозначное отображение имеет своими значениями компактные, выпуклые множества и является полунепрерывным сверху по включению. Тогда отображение имеет неподвижную точку то есть Теорема Какутани имеет многочисленные приложения в теории игр. В частности, с её помощью легко получается доказательство фундаментального результата теории игр — теоремы Нэша о существовании равновесия в бескоалиционной игре.

Литература

[править | править код]
  • Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, — Любое издание.
  • Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление, — Высшая школа, Москва, 2001.
  • Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление, — Тр. МИАН, т.169 (1985).
  • Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач, — Физматлит, Москва, 1974.
  • Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи, — Наука, Москва, 1980.
  • Воробьёв Н. Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры, — Наука, Москва, 1984.