Ортотреугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Ортотреуго́льник (или ортоцентрический треугольник) — треугольник , вершины которого являются основаниями высот исходного треугольника . Для ортотреуго́льника исходный треугольник является треугольником трёх внешних биссектрис. Точка пересечения высот исходного треугольника называется ортоцентром и является центром вписанной окружности ортотреуго́льника .

  • Задача Фаньяно: ортотреугольник остроугольного треугольника обладает наименьшим периметром из всех вписанных треугольников.
  • Окружность девяти точек: окружность, описанная вокруг ортотреугольника остроугольного треугольника , проходит через середины сторон треугольника Δ и через середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника . Радиус этой окружности равен половине радиуса окружности, описанной вокруг треугольника Δ.
  • Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника.
  • Стороны треугольника являются тремя внешними биссектрисами его ортотреугольника, таким образом треугольник является треугольником трёх внешних биссектрис своего ортотреугольника.
  • Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
  • Если точки , и на сторонах соответственно , и остроугольного треугольника Δ таковы, что , и , то  — ортотреугольник треугольника .
  • Ортотреугольник треугольника Δ отсекает при вершинах , и треугольники, подобные треугольнику Δ с коэффициентами подобия соответственно , , .
  • Окружности, описанные вокруг отсекаемых ортотреугольником треугольников, проходят через ортоцентр, и их центры лежат на серединах отрезков, соединяющих ортоцентр исходного треугольника с вершинами исходного треугольника.
  • Если вокруг остроугольного треугольника описать окружность и в трех вершинах треугольника провести прямые, касательные к окружности, то пересечение этих прямых образует треугольник, который называют тангенциальным треугольником по отношению к исходному треугольнику, и стороны которого параллельны сторонам ортотреугольника исходного треугольника.

Свойства подобия родственных треугольников

[править | править код]
— ортотреугольник треугольника , а — треугольник Жергонна ортотреугольника. — ортоцентр , инцентр и центр описанной окружности . Треугольники и подобны.

Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников

[править | править код]
  • Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат.
  • Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
  • Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
  • Если точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, то получится треугольник Жергонна. Пусть в полученном треугольнике проведены высоты. Тогда прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно, ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.

Другие свойства

[править | править код]
  • Площадь ортотреугольника равна:

где  — площадь треугольника ΔABC;  — его соответствующие стороны.

  • Окружность, описанная около ортотреугольника Δabc, для самого треугольника ΔABC является окружностью Эйлера (окружностью 9 точек), то есть одновременно проходит, через 3 основания медиан последнего. Заметим, что эти 3 основания медиан являются вершинами дополнительного треугольника для треугольника ΔABC.
  • Радиусы окружности, описанной около данного треугольника ΔABC, проведенные через его вершины, перпендикулярны соответственным сторонам ортотреугольника Δabc (Зетель, следствие 2, § 66, с. 81).

Литература

[править | править код]
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 38-39. — ISBN 5-94057-170-0.
  • Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. 153 с.