Постоянная Чемперноуна

Постоянная Чемперноуна — трансцендентная действительная константа, чьё разложение на десятичные дроби обладает определёнными важными свойствами. Названа в честь английского экономиста и математика Дэвида Чемперноуна (англ. D. G. Champernowne), который опубликовал о ней работу в 1933 году будучи студентом.

Для десятичной системы счисления, данное число, обозначаемое обычно как $C_{10}$, определяется как конкатенация следующих друг за другом положительных целых чисел:

0,12345678910111213141516… .

Постоянная Чемперноуна также может быть сконструирована в других системах счисления похожим способом. К примеру:

C₂ = 0,11011100101110111… ₂,

C₃ = 0,12101112202122… ₃.

Постоянные Чемперноуна могут быть выражены в точности как бесконечный ряд:

$C_{m}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{10_{b}^{{\big (}{\sum }_{k=1}^{n}\left\lceil \log _{10_{b}}(k+1)\right\rceil {\big )}}}}$,

где $\lceil {x}\rceil$ — округление $x$ вверх, $10_{b}^{~x}=b^{x}$ в десятичной системе счисления, $\log _{10_{b}}(x)=\log _{b_{10}}(x)$ и $b$ — система счисления для постоянной.

Литература

• D. G. Champernowne. The construction of decimals normal in the scale of ten (англ.) // J. London Math. Soc. — 1933. — Vol. 8, iss. 4. — P. 254–260. — doi:10.1112/jlms/s1-8.4.254.