Поток (интуиционизм)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Пото́к — одно из основных понятий интуиционистской математики.

Определение

[править | править код]

Поток определяется как совокупность двух законов и , называемых законом потока и дополнительным законом соответственно. Закон потока делит кортежи натуральных чисел на допустимые и недопустимые и должен обладать следующими свойствами:

  1. Пустой кортеж является допустимым.
  2. Для любого допустимого кортежа найдётся по меньшей мере одно натуральное число , для которого кортеж также будет допустимым.
  3. Для любого допустимого кортежа вида кортеж также является допустимым.

Дополнительный закон сопоставляет допустимым кортежам произвольные математические объекты.

Свободно становящиеся последовательности натуральных чисел , для которых при любом кортеж является допустимым по закону потока , называются допустимыми свободно становящимися последовательностями. Отвечающие им последовательности (где  — дополнительный закон потока ) называются элементами потока .

Образно поток может быть представлен как дерево, из каждой вершины которого выходит по меньшей мере одна ветвь, и на каждую вершину которого «навешен» тот или иной математический объект. Допустимые свободно становящиеся последовательности натуральных чисел можно представлять в виде бесконечных путей в таком дереве.

Применение в интуиционистской математике

[править | править код]

На понятии потока основаны многие конструкции интуиционистского анализа. Так, континуум нередко рассматривается в интуиционистской математике как следующий поток рациональных отрезков:

  1. допустимыми по закону потока считаются кортежи, все элементы которых равны или ;
  2. если допустимому кортежу дополнительным законом сопоставлен отрезок , то кортежу сопоставляется отрезок , а кортежу  — отрезок .

Элементы этого потока считаются вещественными числами, лежащими на отрезке .

Запирающие условия и бар-индукция

[править | править код]

Пусть  — некоторое условие, накладываемое на допустимые кортежи. Такое условие называется запирающим поток, если для любой допустимой по закону потока свободно становящейся последовательности найдётся номер , для которого кортеж удовлетворяет условию . В интуиционистской математике считается приемлемым следующий способ умозаключения:

Пусть условие запирает поток , и пусть условие , накладываемое на допустимые кортежи потока , обладает следующими свойствами:

  1. Любой допустимый кортеж, удовлетворяющий условию , удовлетворяет условию .
  2. Если все допустимые кортежи вида удовлетворяют условию , то допустимый кортеж также удовлетворяет условию .

В таком случае пустой кортеж удовлетворяет условию .

Такой способ умозаключения называется бар-индукцией.

Одним из характерных примеров применения бар-индукции является принадлежащая Л. Э. Я. Брауэру теорема о веере:

Если поток финитарен (то есть из каждой его вершины выходит лишь конечное число ветвей) и условие запирает поток , то найдётся такое натуральное число , что для любой допустимой свободно становящейся последовательности найдётся удовлетворяющий условию кортеж со свойством .

В теоретико-множественной математике аналогичное утверждение известно под именем «лемма Кёнига о бесконечном пути».