Представление алгебры Ли

Представлением алгебры Ли (точнее, линейным представлением алгебры Ли) называется гомоморфизм из алгебры Ли $L$ в полную линейную алгебру преобразований некоторого векторного пространства $V$

\varphi \colon L\to {\mathfrak {gl}}(V)

.

Под гомоморфизмом алгебр Ли подразумевается такое отображение, что $\varphi ([x,y])=[\varphi (x),\varphi (y)]$ для любых $x,y\in L$ . При этом алгебра Ли $L$ и векторное пространство $V$ должны быть над одним и тем же полем $K$ .

Примеры представлений алгебр Ли

Важным примером представления является присоединённое представление алгебры Ли $\mathrm {ad} \colon L\to {\mathfrak {gl}}(L)$ . Это представление сопоставляет элементу $x\in L$ оператор $\mathrm {ad} \;x$ , действующий на элементы из $L$ по правилу $\mathrm {ad} \;x(y)=[x,y]$ .