Риччи-солитон

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Риччи-солитон — решение потока Риччи при котором пространство не меняется или меняется только изменением масштаба. Названы в честь Грегорио Риччи-Курбастро.

Многообразия Эйнштейна являются простейшим примером риччи-солитонов, для них параметриазация получаемая из потока Риччи является постоянной.

В общем случае, поток ричи определяет однопараметрическое семейство диффеоморфизмов на многообразии, получаемое интегрированием некого векторного поля , удовлетвояющего уравнению

где кривизной Риччи тензор, и производная Ли. Если , то условие превращается в условие Эйнштейна

  • Если поле является градиентом некой функции , то солитон называется градиентным. В этом случае уравнение принимает вид
а сама функция называется потенциалом солитона.
  • При солитон называется стационарным, в этом случае рeшение существует на всей вещественной прамой и геометрически не меняется во времени; может меняться только параметризация фиксированного многообразия.
  • При солитон сжимающийся, рeшение можно определить на луче .
  • При солитон растягивающийся, рeшение можно определить на луче .
  • Для любого конуса над сферой с римановой метрикой оператора кривизны существует единственный растягивающийся градиентный риччи-солитон , такой, что сходится к при по Громову — Хаусдрофу.[1]
  • Для любого градиентного солитона с потенциалом выполняется тождество
где обозначает тензор Риччи, а скалярную кривизну.
  • Евлидово пространство является грдиентным Риччи-солитоном; потенциалом может служить любая функция пропорциональная квадрату расстояния до фиксированной точки; в зависимости от выбора коэффициента пропорциональности можно получить стационарный, сжимающийся, а также растягивающийся солитон.
  • Плоскость с метрикой
является стационарным градиентным солитоном с потенциалом . Это так называемая сигара Гамильтона.

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • arXiv:0908.2006
  • Chow, Bennett, Peng Lu, and Lei Ni. Hamilton's Ricci flow. — American Mathematical Soc., 2006.