Точка Штейнера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Точка Штейнера
Изображение
Названо в честь Якоб Штейнер
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Точка Штейнера — одна из замечательных точек треугольника[1] и она обозначается как точка X(99) в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling).

Якоб Штейнер (Jakob Steiner) (1796—1863), швейцарский математик, описал эту точку в 1826 году. Этой точке было дано имя Штейнера Жозефом Нойбергом (Joseph Neuberg) в 1886 году[1][2].

Определение

[править | править код]
Прямая, проходящая через , параллельна , прямая, проходящая через , параллельна , и прямая, проходящая через , параллельна пересекаются в точке Штейнера.

Точка Штейнера определяется следующим образом. (Мы используем не тот способ, каким эту точку определял сам Штейнер.[1])

Пусть дан любой треугольник . Пусть  — его центр описанной окружности и  — точка пересечения симедиан. Окружность, построенная на как на диаметре, представляет собой окружность Брокара треугольника . Прямая, проходящая через перпендикулярно к прямой , пересекает окружность Брокара в другой точке . Прямая, проходящая через перпендикулярно к прямой , пересекает окружность Брокара в другой точке . Прямая, проходящая через перпендикулярно к прямой , пересекает окружность Брокара в другой точке (треугольник есть треугольник Брокара для треугольника ). Пусть есть прямая, проходящая через параллельно прямой , есть прямая, проходящая через параллельно прямой , и есть прямая, проходящая через параллельно прямой . Тогда все три прямых , и пересекаются в одной точке. Точка их пересечения и есть точка Штейнера треугольника .

Трилинейные координаты

[править | править код]

Трилинейные координаты точки Штейнера равны

.
  • Описанный вокруг треугольника эллипс, который также называется эллипсом Штейнера, является эллипсом наименьшей площади, который проходит через вершины , и . Точка Штейнера треугольника лежит на описанном вокруг треугольника эллипсе Штейнера.
  • Хонсбергер (Honsberger) установил следующее свойство точки Штейнера: Точка Штейнера треугольника является центром масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине массы, равной величине внешнего угла при этой вершине.[3]
  • Точка Штейнера не обладает этим свойством. Центр масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине треугольника массы, равной величине внешнего угла в этой вершине, не является точкой Штейнера. Этот центр массы называется центроидом кривизны Штейнера (Steiner curvature centroid) треугольника и имеет трилинейные координаты[4]:
.

Этот треугольный центр обозначается как X(1115) в энциклопедии центров треугольника.

  • Прямая Симсона точки Штейнера треугольника параллельна прямой , где  — центр описанной окружности и  — точка пересечения трёх симедиан (точка Лемуана) треугольника .

Точка Тарри

[править | править код]
Прямая, проходящая через перпендикулярно к , прямая, проходящая через перпендикулярно к , и прямая, проходящая через перпендикулярно к , пересекаются в точке Тарри (Tarry)

Точка Тарри треугольника тесно связана с точкой Штейнера треугольника. Пусть — любой данный треугольник. Точка на описанной окружности треугольника , диаметрально противоположная к точке Штейнера треугольника, называется точкой Тарри треугольника . Точка Тарри представляет собой центр треугольника и он обозначен как центр X(98) в энциклопедии центров треугольника. Трилинейные координаты точки Тарри равны

,

где является углом Брокара треугольника .

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 3 Kimberling, Clark Steiner point. Дата обращения: 17 мая 2012. Архивировано 16 мая 2012 года.
  2. J. Neuberg. Sur le point de Steiner (неопр.) // Journal de mathématiques spéciales. — 1886. — С. 29.
  3. Honsberger, Ross. Episodes in nineteenth and twentieth century Euclidean geometry (англ.). — The Mathematical Association of America, 1965. — P. 119—124.
  4. Eric W., Weisstein Steiner Curvature Centroid. MathWorld—A Wolfram Web Resource.. Дата обращения: 17 мая 2012. Архивировано 6 мая 2012 года.
  • Центр Штейнера — центр тяжести кривизны Гаусса поверхности выпуклого тела.