Формализм Джонса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Формализм Джонса — математический аппарат для анализа поляризации световой волны, в котором поляризация задается так называемыми векторами Джонса, а линейные оптические элементы — матрицами Джонса[1]. Формализм предложил 1941 Роберт Кларк Джонс. Формализм Джонса применим для полностью поляризованного света, для неполяризованного или частично поляризованного света нужно использовать формализм Мюллера.

Вектор Джонса

[править | править код]

Вектор Джонса описывает поляризацию света в пустоте или другой однородной изотропной среде при отсутствии поглощения, там где свет можно описать поперечной электромагнитной волной. Пусть плоская волна распространяется в положительном направлении вдоль оси z и имеет циклическую частоту ω и волновой вектор k = (0,0,k), где волновое число k = ω/c. Тогда электрическое и магнитное поля (E и H) ортогональных к k в каждой точке; то есть лежат в плоскости, поперечной относительно направления движения. Более того, H определяется с E поворотом на 90 градусов и умножением на определённый коэффициент, зависящий от системы единиц и волнового импеданса среды. Поэтому при изучении поляризации достаточно сосредоточиться на E. Комплексная амплитуда E записывается

.

Физическое значение E определяется действительной частью этого вектора, а комплексный множитель описывает фазу волны.

Тогда вектор Джонса определяется как:

Итак вектор Джонса сохраняет информацию об амплитуде и фазе x и y компонент поля.

Сумма квадратов абсолютных значений двух компонент вектора Джонса пропорциональна интенсивности света. Обычно её нормируют на единицу в той точке, откуда начинается расчёт. Обычно также предполагается, что первая компонента вектора Джонса является действительным числом. В этом случае отбрасывается информация о совместной фазе, которая, впрочем, необходима для расчёта интерференции с другими пучками.

Векторы и матрицы Джонса обозначаются так, что фаза волны задается . При таком определении увеличению (или ) соответствует отставание по фазе, а уменьшению — опережение. Например, компонента вектора Джонса () указывает на отставание на (или 90 градусов) по сравнению с 1. Применяется и другая конвенция (), поэтому читателю следует быть внимательным.

Следующая таблица содержит 6 популярных примеров вектора Джонса:

Поляризация света Вектор Джонса Типовое кет-обозначение
Линейно поляризованный по x
привычное название — горизонтальная
Линейно поляризованный по y
привычное название — вертикальная
Линейно поляризованный под углом 45° к оси x
привычное название — диагональная L+45
Линейно поляризованный под углом −45° к оси x
привычное название — антидиагональная L-45
Круговая поляризация по часовой стрелке
привычное название — RCP или RHCP
Круговая поляризация против часовой стрелки
привычное название — LCP или LHCP

В общем случае любой вектор можно записать в кет-нотации как . Применяя сферу Пуанкаре (известную также как сфера Блоха), базовые кет-векторы ( и ) должны обозначать противоположные кет-векторы из перечисленных пар. Например, можно обозначить = и = . Выбор здесь произвольный. Противоположные пары:

  • и
  • и
  • и

Любую поляризацию, не совпадающую с или и не принадлежащую кругу, проходящему через , называют эллиптической.

Матрицы Джонса

[править | править код]

Матрицами Джонса называют операторы, действующие на векторы Джонса. Их определяют для различных оптических элементов: линз, делителей пучков, зеркал и так далее. Каждая матрица является проекцией на одномерное комплексное пространство векторов Джонса. В следующей таблице приведены примеры матриц Джонса для поляризаторов:


Оптический элемент Матрица Джонса
Линейный [[]]поляризатор с горизонтальной осью пропускания[1]

Линейный поляризатор с вертикальной осью пропускания[1]

Линейный поляризатор с осью пропускания под углом ±45° к горизонтальной[1]

Правозакрученный круговой поляризатор[1]

Левозакрученный круговой поляризатор[1]

Манипулирование фазой

[править | править код]

Фазовые преобразователи вносят изменение в разность фаз между вертикальной и горизонтальной поляризациями, управляя так поляризацией пучка. Обычно их изготавливают из одноосных кристаллов с двойным лучепреломлением, таких как кальцит, MgF 2 или кварц . Одноосные кристаллы имеют одну из кристаллических осей, отличную от двух других (то есть, ninj = nk). Эту ось называют необычным или оптической. Оптическая ось может быть быстрой или медленной, в зависимости от кристалла. Свет распространяется с высокой фазовой скоростью вдоль оси с наименьшим показателем преломления, и эту ось называют быстрой. Аналогично, ось с наибольшим показателем преломления называется медленной. "Негативные" одноосные кристаллы (например, кальцит CaCO 3, сапфир Al2O3) имеют ne <no, поэтому для этих кристаллов необычная (оптическое) ось является быстрой, тогда как "положительные" одноосные кристаллы (например, кварц SiO2, фторид магния MgF2, рутил TiO2) имеют ne>no, и необычная ось у них медленная.

Преобразователь фазы с быстрой осью, совпадающей с осями x или y, имеет нулевые недиагональные члены, а потому его можно отобразить матрицей

где и  — фазы электрического поля в направлениях x и y, соответственно. В этих обозначениях задает относительную фазу между двумя волнами как . Тогда положительное значение (то есть > ) означает, что не будет иметь то же значение, что еще некоторое время, то есть впереди . Аналогично, если , то опережает . Например, если быстрая ось четвертьволновой пластинки горизонтальная, то фазовая скорость горизонтальной поляризации будет опережать фазовую скорость вертикальной поляризации, то есть впереди . Если , что для четвертьволнового пластинки дает .

Альтернативное обозначение для фазы:: , определяет относительную фазу как . Тогда означает, что еще некоторое время не будет того же значения, , тогда опережает .

Элемент Матрица Джонса
Четвертьволновая пластинка с вертикальной быстрой осью [2] [3]
Четвертьволновая пластинка с горизонтальной быстрой осью
Четвертьволновая пластинка с быстрой осью под углом к горизонтальной оси
Полуволновая пластинка с быстрой осью под углом к горизонтальной оси [4]
Произвольный материал с двойным преломлением (как фазовый преобразователь) [5]

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 3 4 5 6 7 Fowles, G. Introduction to Modern Optics (неопр.). — 2nd. — Dover, 1989. — С. 35.
  2. 1 2 Hecht, E. Optics (неопр.). — 4th. — 2001. — С. 378. — ISBN 0805385665.
  3. Множитель появляется только тогда, когда фазы заданы симметрично, то есть . Такое определение использует книга [2], но не книга [1].
  4. Gerald, A. Introduction to Matrix Methods in Optics (неопр.). — 1st. — 1975. — ISBN 0471296856.
  5. Obtainment of the polarizing and retardation parameters of a non-depolarizing optical system from the polar decomposition of its Mueller matrix, Optik, Jose Jorge Gill and Eusebio Bernabeu,76, 67-71 (1987).