Фундаментальный класс

Фундаментальным классом называется гомологический класс ориентированного многообразия, который соответствует «целому многообразию». Интуитивно фундаментальный класс можно себе представить как сумму симплексов максимальной размерности подходящей триангуляции многообразия.

Фундаментальный класс многообразия $M$ обычно обозначается $[M]$.

Определение

Замкнутое ориентируемое многообразие

Если многообразие $M$ размерности $n$ является связным ориентируемым и замкнутым, то $n$-ая группа гомологий является бесконечной циклической: $H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$. При этом, ориентация многообразия определяется выбором порождающего элемента группы или изоморфизма $\mathbb {Z} \to H_{n}(M,\mathbb {Z} )$. Порождающий элемент называется фундаментальным классом.

Если ориентируемое многообразие $M=\bigcup \limits _{i}M_{i}$ является несвязным, то в качестве фундаментального класса формально можно сопоставить сумму $\sum \limits _{i}[M_{i}]$ фундаментальных классов всех его связных компонент $M_{i}$. Сопоставление формально, поскольку эта сумма не является порождающим элементом для группы $H_{n}(M,\mathbb {Z} )=\bigoplus \limits _{i}H_{n}(M_{i},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} \oplus \dots \oplus \mathbb {Z}$.

Неориентируемое многообразие

Для неориентируемого многообразия группа $H_{n}(M;\mathbb {Z} )=0$, если при этом $M$ является связным и замкнутым, то $H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}$. Порождающий элемент группы $H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})$ называется фундаментальным классом неориентируемого многообразия $M$.

$\mathbb {Z} _{2}$-фундаментальный класс многообразия используется при определении чисел Штифеля — Уитни.

Многообразие с краем

Если $M$ является компактным ориентируемым многообразием с краем $\partial M$, то $n$-я относительная группа гомологий является бесконечной циклической: $H_{n}(M,\partial M)\cong \mathbb {Z}$. Порождающий элемент группы $H_{n}(M,\partial M)$ называется фундаментальным классом многообразия с краем.

Двойственность Пуанкаре

Главный результат гомологической теории многообразий составляет двойственность Пуанкаре между группами гомологий и когомологий многообразия. Соответствующий изоморфизм Пуанкаре

$D:H^{k}(M;\mathbb {Z} )\to H_{n-k}(M;\mathbb {Z} )$ (для ориентируемого)

и

$D:H^{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\to H_{n-k}(M;\mathbb {Z} _{2})$ (для неориентируемого)

многообразия определяется соответствующим фундаментальным классом многообразия:

$D(\alpha )=[M]\frown \alpha$,

где $\frown$ обозначает $\frown$-умножение гомологических и когомологических классов.

Степень отображения

Пусть $M$, $N$ — связные замкнутые ориентированные многообразия одной размерности. Если $f:M\to N$ — непрерывное отображение, то

$f_{\ast }[M]=k[N]$,

где $f_{\ast }$ — индуцированный $f$ гомоморфизм (групповых колец), а $k=\deg(f)$ — степень отображения $f$.

Литература

• А.Т. Фоменко, Д.Б. Фукс. Курс гомотопической топологии — М: Наука, 1989.
• А. Дольд Лекции по алгебраической топологии — М: Мир, 1976.