Аксиоматическая квантовая теория поля

Аксиоматическая квантовая теория поля (Аксиоматическая теория поля) — подход в квантовой теории поля, основанный на использовании физических аксиом, сформулированных в строгой математической форме.

Его достоинством является то, что он позволяет дедуктивным методом, в качестве следствий соответствующих теорем (например, теоремы о связи спина со статистикой и CPT-теоремы), вывести наблюдаемые экспериментально физические следствия, вытекающие из физических представлений о пространстве-времени, сформулированных в виде математических аксиом и, таким образом, проверить сами эти исходные представления. Также он позволяет логически проверять и уточнять при необходимости исходные положения квантовой теории поля.

Его недостатком является то, что кроме теоремы о связи спина со статистикой и CPT-теоремы, из него не удаётся получить других конкретных, проверяемых на опыте, следствий (например, не удаётся построить теорию взаимодействующих полей а также нетривиальную теорию S-матрицы).

В аксиоматической квантовой теории поля, как правило, используется квантовомеханическое представление Гейзенберга, в котором зависимость от времени описывается операторами, а векторы состояний не зависят от времени.

Аксиомы квантовой теории поля

Связь между математическими объектами и физическими наблюдаемыми

Состояния физической системы описываются нормированными лучами в оснащённом гильбертовом пространстве с положительно определённой метрикой. Каждой измеряемой физической величине $a$ ставится в соответствие самосопряжённый оператор $A$. Если величине $a$ соответствует оператор $A$, то величине $f(a)$ соответствует оператор $f(A)$.

Релятивистская инвариантность

Средние значения физических наблюдаемых ${\bar {a}}=(\Psi ,A\Psi )$ не изменяются относительно собственных преобразований Пуанкаре. Векторы состояний преобразуются по представлениям универсальной накрывающей группы Пуанкаре (теорема Баргмана-Вигнера).

Постулат локальности

Постулат локальности является выражением релятивистского принципа причинности. Измерения составляющих поля в точках, разделённых пространственно-подобным интервалом, независимы. Математически это означает, что операторы поля в точках, разделённых пространственно-подобным интервалом, либо коммутируют, либо антикоммутируют между собой.

$\left[\varphi _{j}(x),\varphi _{k}(y)\right]_{\pm }=\left[\varphi _{j}(x),\varphi _{k}^{*}(y)\right]_{\pm }=0$ при $(x-y)^{2}<0$

Здесь знак коммутации «-» соответствует тензорному бозонному полю, знак антикоммутации «+» соответствует спинорному фермионному полю (теорема о связи спина со статистикой).

Принцип спектральности

Представление универсальной накрывающей группы Пуанкаре, которое реализуется в гильбертовом пространстве векторов состояния, разлагается на неприводимые представления лишь трёх классов:

• $P^{2}=m^{2}>0,P_{0}>0$ — элементарные частицы с положительной массой.

• $P^{2}=0,P\neq 0,P_{0}>0$ — элементарные частицы с нулевой массой.

• $P=0$ — все унитарные представления этого класса, кроме тождественного, бесконечномерны. Тождественное представление соответствует вакууму.

Здесь $P^{2}$ — квадрат оператора четырёхмерного импульса, $m$ — масса элементарной частицы, $P_{0}$ — первая компонента оператора четырёхмерного импульса.

Нерешённые проблемы аксиоматической квантовой теории поля

• Основная проблема аксиоматической квантовой теории поля. Неизвестна теория, удовлетворяющая всем аксиомам аксиоматической квантовой теории поля и описывающая взаимодействующие поля и нетривиальную матрицу рассеяния.
• Неизвестно описание класса обобщённых функций $F_{4}$, удовлетворяющих условию для двухточечной функции Уайтмана:$\int \int \int f(x_{2},x_{1})f(x_{3},x_{4})F_{4}(x_{1}-x_{2},x_{2}-x_{3},x_{3}-x_{4})\prod _{i=1}^{4}d^{4}x_{i}\geqslant 0$.

Подходы к построению аксиоматической квантовой теории поля

Существует два основных подхода, обеспечивающих точную математическую формулировку и аксиоматизируемость квантовой теории поля: алгебраический и топологический.

Функториальная квантовая теория поля (FQFT)

FQFT формализует картину Шредингера квантовой механики (обобщенной на квантовую теорию поля), где пространства квантовых состояний присваиваются пространству, и где линейные отображения присваиваются траекториям или пространственно-временной интерполяции между этими пространствами.

Литература

• Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — М.: Наука, 1969. — 424 с.
• Стритер Р., Вайтман А. PCT, спин и статистика и всё такое. — М.: Наука, 1966. — 251 с.
• Йост Р. Общая теория квантованных полей. — М.: Мир, 1967. — 236 с.