Антиплоский сдвиг

Антиплоский сдвиг или антиплоская деформация — частный случай напряжённо-деформированного состояния упругого тела. Такое состояние возникает когда поле перемещений является нулевым в рассматриваемой плоскости, но ненулевым в направлении, перпендикулярном к плоскости. В случае малых деформаций тензор деформаций может быть записан в виде

${\underline {\underline {\varepsilon }}}={\begin{bmatrix}0&0&\varepsilon _{13}\\0&0&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&0\end{bmatrix}}$

если рассматривается плоскость $Ox_{1}x_{2}$ и вектор перемещений сонаправлен с осью $Ox_{3}$ .

Перемещения

В состоянии антиплоского сдвига поле перемещений (в прямоугольных декартовых координатах) имеет вид:

$u_{1}=u_{2}=0~;~~u_{3}=u_{3}(x_{1},x_{2})$

где $u_{i},~i=1,2,3$ перемещения в направлениях осей $x_{1},x_{2},x_{3}$.

Напряжения

Для изотропного, линейно упругого материала, тензор напряжений, вытекающий из состояния антиплоского сдвига, может быть представлен в виде

${\boldsymbol {\sigma }}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\\0&0&\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\\\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}&\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}&0\end{bmatrix}}$

где $\mu$ - модуль сдвига материала.

Уравнения равновесия в случае антиплоского сдвига

В общем случае имеют место три уравнения равновесия. Однако, для антиплоского сдвига в предположении, что компоненты вектора массовых сил в направлении осей $x_{1}$ и $x_{2}$ равны нулю, они сводятся к одному уравнению следующего вида:

$\mu ~\Delta u_{3}+b_{3}(x_{1},x_{2})=0$

где $b_{3}$ - компонента вектора массовых сил, направленная вдоль оси $x_{3}$ и $\Delta u_{3}={\cfrac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial x_{2}^{2}}}$.

Отметим, что такое уравнение подходит только для случая бесконечно малых деформаций.

Приложения

Гипотеза антиплоского сдвига используется при определении напряжений, вызванных винтовой дислокацией.