Атака Винера

Атака Винера, названная в честь криптолога Майкла Дж. Винера, является типом криптографической атаки против алгоритма RSA. Атака использует метод непрерывной дроби, чтобы взломать систему при малом значении закрытой экспоненты $d$.

Кратко о RSA

Прежде чем начать описание того, как работает атака Винера, стоит ввести некоторые понятия, которые используются в RSA. Более подробную информацию см. в основной статье о RSA.

Для шифрования сообщений по схеме RSA используется открытый ключ - пара чисел $(e,N)$, для расшифрования - закрытый ключ $(d,N)$. Числа $e,d$ называются открытой и закрытой экспонентой соответственно, число $N$ - модулем. Mодуль $N=pq$, где $p$ и $q$ - два простых числа. Связь между закрытой, открытой экспонентой и модулем задаётся, как $ed=1{\bmod {\varphi }}(N)$, где $\varphi (N)=(p-1)(q-1)$ функция Эйлера.

Если по открытому ключу $(e,N)$ за короткое время можно восстановить $d$, то ключ уязвим: получив информацию о закрытом ключе $(d,N)$, у злоумышленников появляется возможность расшифровать сообщение.

История алгоритма

Криптосистема RSA был изобретена Рональдом Ривестом, Ади Шамир и Леонардом Адлеманом и впервые опубликован в 1977 году. С момента публикации статьи криптосистема RSA была исследована на уязвимости многими исследователями. Большая часть таких атак используют потенциально опасные реализации алгоритма и пользуются явными условиями на какой-либо недочёт в алгоритме: общий модуль, малый открытый ключ, малый закрытый ключ. Так алгоритм атаки крипотографической атаки на алгоритм RSA с малым закрытым ключом был предложен криптологом Майклом Дж. Винером в статье, впервые опубликованной в 1990 году. Теорема Винера утверждает о том, что если выполняется условие малости ключа, то закрытый ключ может быть найден за линейное время.

Малый закрытый ключ

В криптосистеме RSA Боб может использовать меньшее значение $d$, а не большое случайное число, чтобы улучшить производительность расшифровки RSA. Однако атака Винера показывает, что выбор небольшого значения для $d$ приведет к небезопасному шифрованию, в котором злоумышленник может восстановить всю секретную информацию, то есть взломать систему RSA. Этот взлом основан на теореме Винера, которая справедлива при малых значениях $d$. Винер доказал, что злоумышленник может эффективно найти $d$, когда $d<{\frac {1}{3}}N^{\frac {1}{4}}$.

Винер также представил некоторые контрмеры против его атаки. Два метода описаны ниже:

1. Выбор большого открытого ключа :

Заменить $e$ на $e'$, где $e'=e+k\cdot \varphi (N)$ для некоторого большого $k$. Когда $e'$ достаточно велик, то есть $e'>N^{\frac {3}{2}}$, то атака Винера неприменима независимо от того, насколько мал $d$.

2. Используя китайскую теорему об остатках:

Выбрать $d$ так, чтобы и $d_{p}=d{\bmod {(}}p-1)$, и $d_{q}=d{\bmod {(}}q-1)$ были малы, но сам $d$ нет, то быстрое дешифрование сообщения $C$ может быть выполнено следующим образом:

1. Сначала вычисляется $M_{p}=C^{d_{p}}{\bmod {p}}$ и $M_{q}=C^{d_{q}}{\bmod {q}}$
2. Используя китайскую теорему об остатках, чтобы вычислить уникальное значение $M\in \mathbb {Z_{N}}$, которое удовлетворяет $M=M_{p}{\bmod {p}}$ и $M=M_{q}{\bmod {q}}$. Результат $M$удовлетворяет $M=C^{d}{\bmod {N}}$ как и требовалось. Дело в том, что атака Винера здесь неприменима, потому что значение $d{\bmod {\varphi }}(N)$ может быть большим.

См. также: RSA § Использование китайской теоремы об остатках для ускорения расшифрования

Как работает атака Винера

Поскольку

$ed=1{\pmod {\operatorname {lcm} (p-1,q-1))}}$,

то существует целое $K$ такое, что:

$ed=K\times \operatorname {lcm} (p-1,q-1)+1$.

Стоит определить $G=\gcd(p-1,q-1)$ и подставить в предыдущее уравнение:

$ed={\frac {K}{G}}(p-1)(q-1)+1$.

Если обозначить $k={\frac {K}{\gcd(K,G)}}$ и $g={\frac {G}{\gcd(K,G)}}$, то подстановка в предыдущее уравнение даст:

$ed={\frac {k}{g}}(p-1)(q-1)+1$.

Разделив обе части уравнения на $dpq$, выходит что:

${\frac {e}{pq}}={\frac {k}{dg}}(1-\delta )$, где $\delta ={\frac {p+q-1-{\frac {g}{k}}}{pq}}$.

В итоге, ${\frac {e}{pq}}$ немного меньше, чем ${\frac {k}{dg}}$, причём первая дробь состоит целиком из публичной информации. Тем не менее, метод проверки такого предположения всё ещё необходим. Принимая во внимание, что $ed>pq$ последнее уравнение может быть записано как:

$edg=k(p-1)(q-1)+g$.

Используя простые алгебраические операции и тождества, можно установить точность такого предположения.

Теорема Винера

Пусть $N=pq$, где $q<p<2q$. Пусть $d<{\frac {1}{3}}N^{\frac {1}{4}}$.

Имея $\left\langle N,e\right\rangle$, где $ed=1{\bmod {\varphi }}(N)$, взломщик может восстановить $d$.

Доказательство теоремы Винера

Доказательство построено на приближениях с использованием непрерывных дробей.

Поскольку $ed=1{\bmod {\varphi }}(N)$, то существует ${\mathit {k}}$ при котором $ed-k\varphi (N)=1$. Следовательно:

$\left\vert {\frac {e}{\varphi (N)}}-{\frac {k}{d}}\right\vert ={\frac {1}{d\varphi (N)}}$.

Значит, ${\frac {k}{d}}$ - это приближение ${\frac {e}{\varphi (N)}}$. Несмотря на то что взломщик не знает $\varphi (N)$, он может использовать $N$ чтобы его приблизить. Действительно, поскольку:

$\varphi (N)=N-p-q+1$ and $p+q-1<3{\sqrt {N}}$, мы имеем: $\left\vert p+q-1\right\vert <3{\sqrt {N}}$ и $\left\vert N+1-\varphi (N)-1\right\vert <3{\sqrt {N}}$

Используя $N$ вместо $\varphi (N)$, получим:

$\left\vert {\frac {e}{N}}-{\frac {k}{d}}\right\vert =\left\vert {\frac {ed-kn}{Nd}}\right\vert =\left\vert {\frac {ed-k\varphi (N)-kN+k\varphi (N)}{Nd}}\right\vert$

$=\left\vert {\frac {1-k(N-\varphi (N))}{Nd}}\right\vert \leq \left\vert {\frac {3k{\sqrt {N}}}{Nd}}\right\vert ={\frac {3k{\sqrt {N}}}{{\sqrt {N}}{\sqrt {N}}d}}={\frac {3k}{d{\sqrt {N}}}}$

Теперь, $k\varphi (N)=ed-1<ed$, значит $k\varphi (N)<ed$. Поскольку $e<\varphi (N)$, значит $k\varphi (N)<ed<\varphi (N)d$, и в итоге получается:

$k\varphi (N)<\varphi (N)d$

где $k<d$

Так как $k<d$ и $d<{\frac {1}{3}}N^{\frac {1}{4}}$, следовательно:

$(1)\left\vert {\frac {e}{N}}-{\frac {k}{d}}\right\vert <{\frac {1}{dN^{\frac {1}{4}}}}$

Поскольку $d<{\frac {1}{3}}N^{\frac {1}{4}},2d<3d$, то $2d<3d<N^{\frac {1}{4}}$, и исходя из этого $2d<N^{\frac {1}{4}}$, значит:

$(2){\frac {1}{2d}}>{\frac {1}{N^{\frac {1}{4}}}}$

Из (1) и (2), можно заключить, что:

$\left\vert {\frac {e}{N}}-{\frac {k}{d}}\right\vert <{\frac {3k}{d{\sqrt {N}}}}<{\frac {1}{d\cdot 2d}}={\frac {1}{2d^{2}}}$

Смысл теоремы заключается в том, что если условие выше удовлетворено, то ${\frac {k}{d}}$ появляется среди подходящих дробей для непрерывной дроби числа ${\frac {e}{N}}$.

Следовательно, алгоритм в итоге найдёт такое ${\frac {k}{d}}$.

Описание алгоритма

Рассматривается открытый RSA ключ $(e,N)$, по которому необходимо определить закрытую экспоненту $d$. Если известно, что $d<{\frac {1}{3}}N^{\frac {1}{4}}$, то это возможно сделать по следующему алгоритму :

1. Разложить дробь ${\frac {e}{N}}$ в непрерывную дробь $[a_{1},a_{2}...]$.

2. Для непрерывной дроби $[a_{1},a_{2}...]$ найти множество всех возможных подходящих дробей ${\frac {k_{n}}{d_{n}}}$.

3. Исследовать подходящую дробь ${\frac {k_{n}}{d_{n}}}$:

3.1. Определить возможное значение $\varphi (N)$, вычислив $f_{n}={\frac {ed_{n}-1}{k_{n}}}$.

3.2. Решив уравнение $x^{2}-((N-f_{n})+1)x+N=0$, получить пару корней $(p_{n},q_{n})$.

4. Если для пары корней $(p_{n},q_{n})$ выполняется равенство $N=p_{n}\cdot q_{n}$, то закрытая экспонента найдена $d=d_{n}$.

Если условие не выполняется или не удалось найти пару корней $(p_{n},q_{n})$, то необходимо исследовать следующую подходящую дробь ${\frac {k_{n+1}}{d_{n+1}}}$, вернувшись к шагу 3.

Пример работы алгоритма

Два данных примера наглядно демонстрируют нахождение закрытой экспоненты $d$, если известен открытый ключ RSA $(e,N)$.

Для открытого ключа RSA $(e,N)=(1073780833,1220275921)$:

Таблица: нахождение закрытой экспоненты d

e/N = [0, 1, 7, 3, 31, 5, 2, 12, 1, 28, 13, 2, 1, 2, 3]
n	kn / dn	phin	pn	qn	pn qn
0	0/1	-	-	-	-
1	1/1	1073780832	-	-	-
2	7/8	1227178094	-	-	-
3	22/25	1220205492	30763	39667	1220275921

Получается, что $d=25$. В этом примере можно заметить, что условие малости выполняется $d<{\frac {1}{3}}N^{\frac {1}{4}}\approx 62.30074...$.

Для открытого ключа RSA $(e,N)=(1779399043,2796304957)$:

Таблица: нахождение закрытой экспоненты d

e/N = [0, 1, 1, 1, 2, 1, 340, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 1, 21, 188]
n	kn / dn	fn	pn	qn	pn qn
0	0/1	-	-	-	-
1	1/1	1779399042	-	-	-
2	1/2	3558798085	-	-	-
3	2/3	2669098564	-	-	-
4	5/8	2847038468	-	-	-
5	7/11	2796198496	47129	59333	2796304957

Получается, что $d=11$. В этом примере так же можно заметить, что условие малости выполняется $d<{\frac {1}{3}}N^{\frac {1}{4}}\approx 76.65224...$.

Сложность алгоритма

Сложность алгоритма определяется количеством подходящих дробей для непрерывной дроби числа ${\frac {e}{N}}$, что есть величина порядка $O(log(n))$. То есть число $d$ восстанавливается за линейное время от длины ключа.

Литература

• Rivest R., Shamir A., Adleman L. A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems (англ.) // Communications of the ACM. — 1978. — P. 120–126.
• Wiener M. Cryptanalysis of short RSA secret exponents (англ.) // IEEE Transactions on Information Theory. — 1990. — P. 553–558.
• Coppersmith D., Franklin M., Patarin J., Reiter M. Low-Exponent RSA with Related Messages (англ.) // Proceedings of the 15th annual international conference on Theory and application of cryptographic techniques. — 1996. — P. 1-9.
• Boneh D. Twenty Years of attacks on the RSA Cryptosystem (англ.) // Notices of the American Mathematical Society (AMS). — 1999.
• Dujella A. Continued Fractions and RSA with Small Secret Exponent (англ.) // CoRR. — 2004. — P. 1-11.
• Khaled S. Mathematical Attacks on RSA Cryptosystem (англ.) // Journal of Computer Science. — 2006. — P. 665-671.
• Render E. Wiener's Attack on Short Secret Exponents // IEEE Proceedings. — 2007. (недоступная ссылка)
• Sarkar S., Maitra S. Revisiting Wiener’s Attack - New Weak Keys in RSA (англ.) // Indian Statistical Institute. — 2008.
• Justin J., Siddhart R., Sushant P., Shriket P. Study of RSA and Proposed Variant Against Wiener's Attack (англ.) // International Journal of Computer Applications. — 2010. — P. 15-20.
• Kedmi S. Python Implementation of Wiener's Attack (англ.). — 2016.
• Stinson D. Cryptography Theory and Practice (англ.). — 2e. — A CRC Press Company, 2002. — ISBN 1-58488-206-9.
• Герман О.Н, Нестеренко Ю.В. Теоретико-числовые методы в криптографии (рус.). — 1. — ACADEMA, 2012. — ISBN 978-5-7695-6786-5.