Аффинная комбинация

Аффинная комбинация — линейная комбинация заданных векторов $x_{1},\dots ,x_{n}$ векторного пространства $V$ над полем $F$:

$\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}x_{i}}=\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}$,

сумма коэффициентов в которой равна 1, то есть:

$\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=1$.

Операция взятия аффинной комбинации коммутирует с любым аффинным преобразованием $T$ в том смысле, что:

$T\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}x_{i}}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}Tx_{i}}$.

В частности, любая аффинная комбинация неподвижных точек заданного аффинного преобразования $T$ является также неподвижной точкой $T$, так что множество неподвижных точек $T$ образует аффинное подпространство (в трёхмерном пространстве: прямая или плоскость, а в тривиальных случаях, точка или всё пространство).

Когда стохастическая матрица $A$ действует на вектор-столбец $B$, результатом будет вектор-столбец, элементы которого являются аффинными комбинациями элементов $B$ с коэффициентами из строк матрицы $A$.

Специализация понятия — выпуклая комбинация, для которой дополнительно требуется неотрицательность скалярных коэффициентов в линейной комбинации.

Ссылки

• Jean Gallier. Глава 2 // Geometric Methods and Applications. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2001. — ISBN 978-0-387-95044-0.
• Notes on affine combinations.