Биномиальная теорема Абеля

Биномиальная теорема Абеля, названная в честь Нильса Хенрика Абеля, выражается в следующем равенстве:

$\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(w+m-k)^{m-k-1}(z+k)^{k}=w^{-1}(z+w+m)^{m}.$

Пример

m = 2

${\begin{aligned}&{}\quad {\binom {2}{0}}(w+2)^{1}(z+0)^{0}+{\binom {2}{1}}(w+1)^{0}(z+1)^{1}+{\binom {2}{2}}(w+0)^{-1}(z+2)^{2}\\&=(w+2)+2(z+1)+{\frac {(z+2)^{2}}{w}}\\&={\frac {(z+w+2)^{2}}{w}}.\end{aligned}}$

См. также

• Бином Ньютона

Литература

• Малых А. Е. Из истории биномиальной теоремы (рус.) // Ярославский педагогический вестник : журнал. — 2010. — № 3. — С. 31. — ISSN 1813–145Х.
• Abel, N. H. Beweis eines Ausdrucks, von welchem die Binomial-Formel ein einzelner Fall ist. (нем.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : журнал. — 1826. — Nr. 1. — S. 159–160.
• Riordan J. Combinatorial Identities. — New York: Wiley: R. E. Krieger Pub. Co, 1979. — P. 18. — 256 p.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Abel's Binomial Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.