Богут — сын хорватских иммигрантов, осевших в Мельбурне. Учился в Австралийском институте спорта, в последнем сезоне в играх за местную баскетбольную команду в среднем набирал 29 очков и делал 14,5 подборов.
В 2003 году переехал в США и продолжил спортивную карьеру в университете Юты, где в дебютном сезоне набирал в среднем 12,5 очков и делал 9,9 подборов, по итогам первого сезона был признан лучшим новичком в Горной Западной конференции. В своём втором сезоне за Университет Юты Богут значительно улучшил свои показатели, в среднем набирая 20,4 очков, делая 12,2 подборов, 2,3 передачи и 1,8 блок-шот. По окончании сезона он был признан лучшим баскетболистом Национальной ассоциацией студенческого спорта по версии Associated Press и ESPN, а также получил призы имени Джеймса Нейсмита, Джона Вудена и Оскара Робертсона.
В 2005 году Богут был выбран на драфте НБА под первым номером командой «Милуоки Бакс». В дебютном сезоне 2006/07 за «Бакс» он стал основным центровым команды, в среднем набирал 9,4 очков, делал 7 подборов, был включён в первую сборную новичков и занял третье место в опросе на звание новичка года. В следующем сезоне 2007/08 Богут потянул мышцу на левой ноге, из-за чего пропустил последние 15 игр чемпионата и не смог помочь команде выйти в плей-офф, хотя в целом улучшил свою статистику. В третьем сезоне 2008/09 австралиец провёл 78 игр, в которых в среднем набирал 14,3 очков и делал 9,8 подборов. Часть своего четвёртого 2009/10 сезона в НБА Богут пропустил из-за травмы спины, сезон стал лучшим в его карьере, сыграв лишь в 69 встречах, он набирал 15,9 очка и делал 10,2 подбора в среднем за матч.
Богут в апреле 2012 года перенёс артроскопическую операцию по восстановлению связки правого голеностопа. Он провел предсезонную подготовку вместе с командой, но сыграл лишь в 4 из 5 стартовых матчах 2012/13 сезона, набирая 6,0 очков и делая 3,8 подбора в среднем за игру. После чего было объявлено, что он выбыл на неопределенный срок, «Голден Стэйт» предоставили Эндрю Богуту дополнительное время для восстановления[3]. Богут вернулся на площадку 28 января 2013 года, набрав 12 очков, 8 подборов, 2 передачи и 4 блок-шота в победном матче против «Торонто Рэпторс». В 32 матчах показатели Богута составили 5,8 очка, 7,7 подбора, 2,1 передачи и 1,7 блок-шота в среднем за встречу. «Уорриорз» вышли в плей-офф, 2 мая 2013 года в 6 матче первого раунда Богут набрал рекордные для себя 14 очков и сделал 21 подбор. В первом раунде «Уорриорз» в 6 матчах победили «Денвер Наггетс», а в полуфинале конференции уступили в шести матчах «Сан-Антонио Спёрс» (2-4).
25 октября 2013 году Богут подписал дополнительное соглашение с «Уорриорз» на 3 года[4]. Несмотря на очередной сезон травм 2013/14, Богут финишировал 10-м в голосовании на звание Лучший игрок оборонительного плана и стал первым игроком в истории «Голден Стэйт» делая 10 подборов за игру при 60 % реализации бросков[5]. Сезон для «Уорриорз» закончился проигрышем в первом раунде «Лос-Анджелес Клипперс» в шести матчах (2-4). Летом 2014 года Марка Джексона на посту главного тренера «Уорриорз» сменил Стив Керр.
Сезон 2014/15 Богут начал с 19 матчей в стартовой пятёрке за «Уорриорз», 8 декабря 2014 года повредил правое колено в матче с «Миннисотой» и пропустил 12 игр. 7 января 2015 года Богут вышел со скамейки в победном матче против «Индианы» (117—102), набрав 4 очка и сделав 8 подбора[6]. В регулярном сезоне 2014/15 «Голден Стэйт Уорриорз» под руководством Стива Керра одержали 67 побед, установив рекорд НБА по количестве побед в регулярном сезоне для главного тренера, который дебютировал в лиге[7]. Это стало лучшим результатом как в Западной конференции, так и в лиге в целом. Стефен Карри был признан самым ценным игроком регулярного сезона, Богут вошёл во вторую сборную всех звёзд защиты. В плей-офф «Голден Стэйт» в первом раунде в «сухую» обыграли «Нью-Орлеан Пеликанс». Во втором раунде, проигрывая в серии 2-1, «Уорриорз» сумели одержать 3 победы подряд над «Мемфис Гриззлис». В финале конференции баскетболисты «Голден Стэйт» победили «Хьюстон Рокетс» со счётом 4-1 и вышли в финал НБА. В финале НБА «Голден Стэйт» победили «Кливленд Кавальерс» со счётом 4—2 и стали чемпионами НБА. По ходу серии, после того как счет стал 2-1 в пользу «Кавальерс», главный тренер «Уорриорз» Стив Керр перевёл Андре Игудалу в стартовый состав вместо Богута и стал играть «лёгкой» пятёркой с первых минут, что коренным образом сказалось на результате. Эндрю Богут после четвёртой игры серии признался, что ради команды готов начинать матчи на скамейке запасных: «Знаете, мы не в той ситуации, чтобы сидеть и обижаться. Мы профессионалы. Я нисколько не горюю о потере места в стартовой пятёрке. Главное — выиграть чемпионство». «Голден Стэйт» одержали 3 победы подряд и завоевали титул чемпионов в четвёртый раз в своей истории.
В 2003 году помог юниорской сборной Австралии выиграть чемпионат мира в своей возрастной категории и был признан самым ценным игроком сезона.
На Олимпийских играх 2004 года в Афинах выступал за сборную Австралии, играя на позиции тяжёлого форварда. На Играх Богут в среднем набирал 14,8 очков и делал 8,8 подборов. Выступал на чемпионате мира 2006 года в Японии, был лучшим игроком по очкам и подборам в сборной Австралии, занявшей 13-е место. Летом 2008 года Богут вновь принимал участие в Олимпийских играх, на этот раз команда вышла из группы и уступила в четвертьфинале будущим чемпионам, американцам.
