Вариация Харди — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных.
Пусть имеется функция
, заданная на
-мерном параллелепипеде
![{\displaystyle D_{n}=[a_{1},\;b_{1}]\times [a_{2},\;b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},\;b_{n}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f076df288c5addf735d976a73a38cabf322e6c1c)
Зададимся произвольным разбиением
параллелепипеда гиперплоскостями
![{\displaystyle x_{s}=x_{s}^{(r_{s})},\quad r_{s}=0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;l_{s};\;s=1,\;2,\;\ldots ,\;n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659e0f819a56c5b5959c560404fd9b843999c296)
![{\displaystyle x_{s}^{(r_{s})}<x_{s}^{(r_{s}+1)},\;x_{s}^{(0)}=a_{s},\;x_{s}^{(l_{s})}=b_{s},\;h_{s}^{(r_{s})}=x_{s}^{(r_{s}+1)}-x_{s}^{(r_{s})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b7b0123e41af9b14037162253505a715c8798bc)
на
-мерные параллелепипеды.
Рассмотрим класс
всех функций, для которых
![{\displaystyle {\tilde {H}}_{n}=\sup _{\pi }\sum _{r_{1}=0}^{l_{1}-1}\sum _{r_{2}=0}^{l_{2}-1}\ldots \sum _{r_{n}=0}^{l_{n}-1}\left|\Delta _{h_{1}^{(r_{1})}h_{2}^{(r_{2})}\ldots h_{n}^{(r_{n})}}(f;\;x_{1}^{(r_{1})},\;x_{2}^{(r_{2})},\;\ldots ,\;x_{n}^{(r_{n})})\right|<\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d64074d6a2d10a1ddb05f6ef620cee9e8c079ced)
где
![{\displaystyle \Delta _{h_{1}h_{2}\ldots h_{n}}(f;\;x)=\Delta _{h_{k}}(\Delta _{h_{1}h_{2}\ldots h_{k-1}};\;x),\quad k=2,\;3,\;\ldots ,\;n;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bf5a41b8d6cea801206ba772a0496953bc3a85f)
![{\displaystyle -f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k},\;\ldots ,\;x_{n}),\quad \;k=1,\;2,\;\ldots ,\;n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98d83adf7500fb2857d30bed772a249f8141ed74)
Пусть, теперь,
— целочисленный вектор, координаты которого удовлетворяют неравенствам
, и
— целочисленный вектор размерности
такой, что его координаты образуют строго возрастающую последовательность и состоят из всех тех чисел
, которые не содержатся среди чисел
. Тогда каждую точку
можно записать в виде
. Если координаты
точки
фиксированы на значениях
, то будем писать
.
Вариация Харди функции
на
:
![{\displaystyle H(f,\;D_{n})\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\sup _{\alpha }\,\sup _{{\overset {\circ }{x}}{}^{\alpha }}{\tilde {H}}_{n-s}\left(f({\overset {\circ }{x}}{}^{\alpha },\;x^{\bar {\alpha }})\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/983729190b9bd7861b5ddb91ba476f1c0198945d)
Если
, то говорят, что функция
имеет ограниченную (конечную) вариацию Харди на параллелепипеде
, а класс всех таких функций обозначается
.
Первоначально класс
при
был введён Г. Харди[1] (G. Н. Hardy) в связи с исследованием сходимости двойных рядов Фурье[2]. Он доказал, что прямоугольные частичные суммы двойного ряда Фурье функции
класса
(
), имеющей период
по каждой переменной, сходятся в каждой точке
к числу
![{\displaystyle {\frac {1}{4}}\{f(x_{1}+0,\;x_{2}+0)+f(x_{1}+0,\;x_{2}-0)+f(x_{1}+0,\;x_{2}-0)+f(x_{1}-0,\;x_{2}-0)\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5cb784c0505571a09ab8cc0ecc7dfdd979478f1)
где
![{\displaystyle f(x\pm 0,\;x_{2}\pm 0)\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\lim _{\begin{smallmatrix}\varepsilon _{1}\to +0\\\varepsilon _{2}\to +0\end{smallmatrix}}f(x_{1}\pm \varepsilon _{1},\;x_{2}\pm \varepsilon _{1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da262d4625e815a7a179cb835e96718d08cae5dd)
Для того чтобы функция
входила в класс
, необходимо и достаточно, чтобы её можно было представить в виде
, где
и
такие конечные на
функции, что
, при всех
и допустимых приращениях
. Класс
содержится в классе
функций, имеющих ограниченную вариацию Арцела на
.
- Буланов А. П. Рациональные приближения функций многих переменных с конечной вариацией Харди // Математический сборник. — 1995. — т. 186. — № 11. — с. 53—74.
- ↑ Hardy G. Н. The Quarterly Journal of Mathematics. — 1905. — v. 37. — № 1. — p. 57—79.
- ↑ Hahn, H. Theorie der reellen Funktionen. — Bd 1. — В.: Springer, 1921.