Вариация множества

Вариация множества — число, характеризующее $k$-мерную протяженность множества в $n$-мерном евклидовом пространстве.

Нулевая вариация множества $V_{0}(E)$ замкнутого ограниченного множества $E$ — это число компонент этого множества. Для простейшего случая плоскости вариация первого порядка $V_{1}(E)$ называется линейной вариацией множества и представляет собой интеграл:

$V_{1}(E)=c\int \limits _{0}^{2\pi }\Phi (\alpha ,\;E)\,d\alpha$

от функции

$\Phi (\alpha ,\;E)=\int \limits _{\Pi _{\alpha }}V_{0}(E\cap \Pi _{\alpha ,\;z}^{\perp })\,dz,$

где интегрирование ведётся по прямой $\Pi _{\alpha }$, проходящей через начало координат;

$\alpha$ — угол наклона $\Pi _{\alpha }$ к фиксированной оси; $\Pi _{\alpha ,\;z}^{\perp }$ — прямая, перпендикулярная к $\Pi _{\alpha }$ и пересекающая её в точке $z$.

Нормирующая константа $c$ выбирается так, чтобы вариация $V_{1}(E)$ отрезка $E$ совпадала с его длиной. Для достаточно простых множеств, например, для спрямляемых кривых, вариация множества равна длине кривой. Для замкнутой области $E$ со спрямляемой границей $\Gamma$ линейная вариация множества $V_{1}(E)$ равна половине длины $\Gamma$.

Вторая вариация множества (то есть порядка 2) есть двумерная мера множества $E$. При $k>2$ $V_{k}(E)=0$.

Для $n$-мерного евклидова пространства вариацией $V_{i}(E)$ порядка $i=0,\;1,\;\ldots ,\;n$ ограниченного замкнутого множества $E$ называется интеграл $V_{k}(E)=\int \limits _{\Omega _{k}^{n}}V_{0}(E\cap \beta )\,d\mu _{\beta }$ от нулевой вариации пересечения $E$ с $(n-k)$-мерной плоскостью $\beta$ по пространству $\Omega _{k}^{n}$ всех $(n-k)$-мерных плоскостей из $R_{n}$, с мерой Хаара $d\mu _{\beta }$, нормированной так, чтобы единичный $k$-мерный куб $J_{k}$ имел вариацию множества $V_{k}(J_{k})=1$.

Вариация множества $V_{n}(E)$ совпадает с $n$-мерной мерой Лебега множества $E$. Для выпуклых тел вариация множества при надлежащей нормировке совпадает со смешанными объемами Минковского.

Свойства вариации множества

• Для $E\subset R_{n}\subset R_{n'}$ вариация множества $V_{k}(E)$ не зависит от того, вычисляется она для $E\subset R_{n}$ или для $E\subset R_{n'}$.
• Для вариаций множеств справедлива следующая формула:

$\int \limits _{\Omega _{k}^{n}}V_{i}(E\cap \beta )\,d\mu _{\beta }=c(n,\;k,\;i)V_{k+i}(E),\quad k+i\leqslant n,$

где $c(n,\;k,\;i)$ — нормирующая константа.

• Из $V_{i}(E)=0$ следует, что $V_{i+1}(E)=0$.
• Для любой последовательности чисел $a_{0},\;a_{1},\;\ldots ,\;a_{n}$, где $a_{0}>0$ — целое, $0<a_{i}\leqslant \infty$, $i=1,\;2,\;\ldots ,\;n-1$; $a_{n}=0$, можно построить множество $E\subset R_{n}$, для которого $V_{i}(E)=a_{i}$, $i=0,\;l,\;2,\ldots ,\;n$. В этом выражается в некотором смысле независимость вариаций множества друг от друга.
• $V_{i}(E_{1}\cup E_{2})=V_{2}(E_{i})+V_{i}(E_{2})$, если $E_{1}$ и $E_{2}$ не пересекаются. В общем случае

$V_{i}(E_{1}\cup E_{2})\leqslant V_{2}(E_{i})+V_{i}(E_{2}).$

Для $i=0,\;2,\;\ldots ,\;n-1$ вариации множества $V_{i}$ не монотонны, то есть может оказаться, что $V_{i}(E_{1})<V_{i}(E_{2})$ для $E_{1}\supset E_{2}$.

• Вариации множеств полунепрерывны, то есть если последовательность замкнутых ограниченных множеств $E_{k}$ сходится (в смысле метрики уклонений) к множеству $E$, то

$V_{0}(E)\leqslant \varliminf _{k\to \infty }V_{0}(E_{n}).$

Если $V_{0}(E_{k})+\ldots +V_{i-1}(E_{k})$ равномерно ограничены суммы, то

$V_{i}(E)\leqslant \varliminf _{k\to \infty }V_{i}(E_{n}),\quad i=1,\;2,\;\ldots ,\;n.$

• Вариация множества $V_{k}(E)$ совпадает с $k$-мерной мерой Хаусдорфа множества $E$, если $V_{k+1}(E)=0$, а

$V_{0}(E)+V_{1}(E)+\ldots +V_{k}(E)<\infty .$

Эти условия выполняются, например, для дважды гладких многообразий.

История

Понятие «вариация множества» возникло в связи с исследованием решений системы Коши — Римана и в окончательной формулировке принадлежит А. Г. Витушкину. Вариация множества является полезным аппаратом при решении некоторых задач анализа, в частности при изучении суперпозиций функций многих переменных, а также в вопросах аппроксимации.

Литература

• Витушиин А. Г. Доклады АН СССР. — 1966. — т. 166. — № 5. — с. 1022—1025.
• Иванов Л. Д. Математический сборник. — 1967. — т. 72(114). — № 3. — с. 445—470.
• Иванов Л. Д. Математический сборник. — 1969. — т. 78(120). — № 1. — с. 85—100.
• Иванов Л.Д. Вариации множеств и функций. — М.: Наука, 1975. — 352 с.