Векторными сферическими гармониками являются векторные функции, преобразующиеся при вращениях системы координат так же, как скалярные сферические функции с теми же индексами, или определенные линейные комбинации таких функций.
1. Векторные сферические гармоники - векторные функции
Y
J
M
L
(
ϑ
,
φ
)
{\displaystyle \mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )}
J
^
2
,
J
^
z
,
L
^
2
,
S
^
2
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2},{\hat {J}}_{z},{\hat {\mathbf {L} }}^{2},{\hat {\mathbf {S} }}^{2}}
L
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}}
оператор орбитального углового момента,
S
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}}
оператор спинового момента для спина 1,
J
^
=
L
^
+
S
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {L} }}+{\hat {\mathbf {S} }}}
[1]
J
^
2
Y
J
M
L
(
ϑ
,
φ
)
=
J
(
J
+
1
)
Y
J
M
L
(
ϑ
,
φ
)
J
^
z
Y
J
M
L
(
ϑ
,
φ
)
=
M
Y
J
M
L
(
ϑ
,
φ
)
L
^
2
Y
J
M
L
(
ϑ
,
φ
)
=
L
(
L
+
1
)
Y
J
M
L
(
ϑ
,
φ
)
S
^
2
Y
J
M
L
(
ϑ
,
φ
)
=
2
Y
J
M
L
(
ϑ
,
φ
)
{\displaystyle {\begin{array}{l}{{\hat {\mathbf {J} }}^{2}\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )={J}({J}+1)\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )}\\{{\hat {J}}_{z}\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )=M\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )}\\{{\hat {\mathbf {L} }}^{2}\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )=L(L+1)\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )}\\{{\hat {\mathbf {S} }}^{2}\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )=2\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )}\end{array}}}
2. Часто (см., например, Рассеяние Ми ) векторными гармониками называют фундаментальный набор решений векторного уравнения Гельмгольца в сферических координатах. [2] [3]
В этом случае векторные сферические гармоники порождаются скалярными функциями, являющимися решением уравнения Гельмгольца с волновым вектором
k
{\displaystyle {\bf {k}}}
ψ
e
m
n
=
cos
m
φ
P
n
m
(
cos
ϑ
)
z
n
(
k
r
)
ψ
o
m
n
=
sin
m
φ
P
n
m
(
cos
ϑ
)
z
n
(
k
r
)
{\displaystyle {\begin{array}{l}{\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\\{\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\end{array}}}
где
P
n
m
(
cos
θ
)
{\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )}
полиномы Лежандра , а
z
n
(
k
r
)
{\displaystyle z_{n}({k}r)}
сферических функций Бесселя .
Векторные гармоники выражаются как
L
o
e
m
n
=
∇
ψ
o
e
m
n
{\displaystyle \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}=\mathbf {\nabla } \psi _{^{e}_{o}mn}}
M
o
e
m
n
=
∇
×
(
r
ψ
o
e
m
n
)
{\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)}
N
o
e
m
n
=
∇
×
M
o
e
m
n
k
{\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}{\mathbf {k} }}}
Здесь вводятся производящие функции с вещественной угловой частью, но по аналогии можно ввести и комплексные гармоники.
3. Также часто вводятся шаровые векторы[4] [5] [6] [7]
Y
J
M
L
(
ϑ
,
φ
)
{\displaystyle \mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
[1]
X
J
M
(
θ
,
ϕ
)
=
1
l
(
l
+
1
)
L
Y
J
M
(
θ
,
ϕ
)
=
1
i
l
(
l
+
1
)
r
×
∇
Y
J
M
(
θ
,
ϕ
)
=
Y
J
M
(
0
)
(
ϑ
,
φ
)
=
Y
J
M
J
(
ϑ
,
φ
)
{\displaystyle \mathbf {X} _{JM}(\theta ,\phi )={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)}}}\mathbf {L} Y_{JM}(\theta ,\phi )={\frac {1}{i{\sqrt {l(l+1)}}}}\mathbf {r} \times \nabla Y_{JM}(\theta ,\phi )={\mathbf {Y} _{JM}^{(0)}(\vartheta ,\varphi )=\mathbf {Y} _{JM}^{J}(\vartheta ,\varphi )}}
i
Y
J
M
(
0
)
(
ϑ
,
φ
)
×
r
=
Y
J
M
(
1
)
(
ϑ
,
φ
)
=
J
+
1
2
J
+
1
Y
J
M
J
−
1
(
ϑ
,
φ
)
+
J
2
J
+
1
Y
J
M
J
+
1
(
ϑ
,
φ
)
{\displaystyle i\mathbf {Y} _{JM}^{(0)}(\vartheta ,\varphi )\times \mathbf {r} ={\mathbf {Y} _{JM}^{(1)}(\vartheta ,\varphi )={\sqrt {\frac {J+1}{2J+1}}}\mathbf {Y} _{JM}^{J-1}(\vartheta ,\varphi )+{\sqrt {\frac {J}{2J+1}}}\mathbf {Y} _{JM}^{J+1}(\vartheta ,\varphi )}}
r
Y
J
M
(
ϑ
,
φ
)
=
Y
J
M
(
−
1
)
(
ϑ
,
φ
)
=
J
2
J
+
1
Y
J
M
J
−
1
(
ϑ
,
φ
)
−
J
+
1
2
J
+
1
Y
J
M
J
+
1
(
ϑ
,
φ
)
{\displaystyle \mathbf {r} Y_{JM}(\vartheta ,\varphi )={\mathbf {Y} _{JM}^{(-1)}(\vartheta ,\varphi )={\sqrt {\frac {J}{2J+1}}}\mathbf {Y} _{JM}^{J-1}(\vartheta ,\varphi )-{\sqrt {\frac {J+1}{2J+1}}}\mathbf {Y} _{JM}^{J+1}(\vartheta ,\varphi )}}
Для векторов этого типа производящими являются скалярные сферические функции
Y
J
M
(
ϑ
,
φ
)
{\displaystyle Y_{JM}(\vartheta ,\varphi )}
Электрические гармоники
N
o
e
m
1
{\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m1}}
.
N
e
01
{\displaystyle \mathbf {N} _{e01}}
изображена дважды
Электрические гармоники
N
o
e
m
2
{\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m2}}
.
N
e
02
{\displaystyle \mathbf {N} _{e02}}
изображена дважды
Электрические гармоники
N
o
e
m
3
{\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m3}}
.
N
e
03
{\displaystyle \mathbf {N} _{e03}}
изображена дважды
Магнитные гармоники
M
o
e
m
1
{\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m1}}
.
M
e
01
{\displaystyle \mathbf {M} _{e01}}
изображена дважды
Магнитные гармоники
M
o
e
m
2
{\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m2}}
.
M
e
02
{\displaystyle \mathbf {M} _{e02}}
изображена дважды
Магнитные гармоники
M
o
e
m
3
{\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m3}}
.
M
e
03
{\displaystyle \mathbf {M} _{e03}}
изображена дважды
Решения векторного уравнения Гельмгольца подчиняются следующим отношениям ортогональности[3]
∫
0
2
π
∫
0
π
L
o
e
m
n
⋅
L
o
e
m
n
sin
ϑ
d
ϑ
d
φ
=
(
1
+
δ
m
,
0
)
2
π
(
2
n
+
1
)
2
(
n
+
m
)
!
(
n
−
m
)
!
k
2
{
n
[
z
n
−
1
(
k
r
)
]
2
+
(
n
+
1
)
[
z
n
+
1
(
k
r
)
]
2
}
{\displaystyle {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}k^{2}\left\{n\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+(n+1)\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}}}
∫
0
2
π
∫
0
π
M
o
e
m
n
⋅
M
o
e
m
n
sin
ϑ
d
ϑ
d
φ
=
(
1
+
δ
m
,
0
)
2
π
2
n
+
1
(
n
+
m
)
!
(
n
−
m
)
!
n
(
n
+
1
)
[
z
n
(
k
r
)
]
2
{\displaystyle {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{2n+1}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left[z_{n}(kr)\right]^{2}}}
∫
0
2
π
∫
0
π
N
o
e
m
n
⋅
N
o
e
m
n
sin
ϑ
d
ϑ
d
φ
=
(
1
+
δ
m
,
0
)
2
π
(
2
n
+
1
)
2
(
n
+
m
)
!
(
n
−
m
)
!
n
(
n
+
1
)
{
(
n
+
1
)
[
z
n
−
1
(
k
r
)
]
2
+
n
[
z
n
+
1
(
k
r
)
]
2
}
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left\{(n+1)\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+n\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}}
∫
0
π
∫
0
2
π
L
o
e
m
n
⋅
N
o
e
m
n
sin
ϑ
d
ϑ
d
φ
=
(
1
+
δ
m
,
0
)
2
π
(
2
n
+
1
)
2
(
n
+
m
)
!
(
n
−
m
)
!
n
(
n
+
1
)
k
{
[
z
n
−
1
(
k
r
)
]
2
−
[
z
n
+
1
(
k
r
)
]
2
}
{\displaystyle {\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)k\left\{\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}-\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}}}
Все остальные интегралы по углам между различными функциями или функциями с различными индексами равны нулю.
Угловая часть магнитных и электрических векторных сферических гармоник. Красными и зелеными стрелками показаны направления векторного поля. Первые три порядка - диполи, квадруполи и октуполи. Введем обозначение
ρ
=
k
r
{\displaystyle \rho =kr}
M
e
m
n
(
k
,
r
)
=
−
m
sin
(
θ
)
sin
(
m
φ
)
P
n
m
(
cos
(
θ
)
)
z
n
(
ρ
)
e
θ
−
−
cos
(
m
φ
)
d
P
n
m
(
cos
(
θ
)
)
d
θ
z
n
(
ρ
)
e
φ
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {M} _{emn}(k,\mathbf {r} )={{\frac {-m}{\sin(\theta )}}\sin(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }-}\\{-\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}
M
o
m
n
(
k
,
r
)
=
m
sin
(
θ
)
cos
(
m
φ
)
P
n
m
(
cos
(
θ
)
)
z
n
(
ρ
)
e
θ
−
−
sin
(
m
φ
)
d
P
n
m
(
cos
(
θ
)
)
d
θ
z
n
(
ρ
)
e
φ
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {M} _{omn}(k,\mathbf {r} )={{\frac {m}{\sin(\theta )}}\cos(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }-\\{-\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }}\end{aligned}}}
N
e
m
n
(
k
,
r
)
=
z
n
(
ρ
)
ρ
cos
(
m
φ
)
n
(
n
+
1
)
P
n
m
(
cos
(
θ
)
)
e
r
+
+
cos
(
m
φ
)
d
P
n
m
(
cos
(
θ
)
)
d
θ
1
ρ
d
d
ρ
[
ρ
z
n
(
ρ
)
]
e
θ
−
−
m
sin
(
m
φ
)
P
n
m
(
cos
(
θ
)
)
sin
(
θ
)
1
ρ
d
d
ρ
[
ρ
z
n
(
ρ
)
]
e
φ
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {N} _{emn}(k,\mathbf {r} )={\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\cos(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }+}\\{+\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }-\\{-m\sin(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}
N
o
m
n
(
k
,
r
)
=
z
n
(
ρ
)
ρ
sin
(
m
φ
)
n
(
n
+
1
)
P
n
m
(
cos
(
θ
)
)
e
r
+
+
sin
(
m
φ
)
d
P
n
m
(
cos
(
θ
)
)
d
θ
1
ρ
d
d
ρ
[
ρ
z
n
(
ρ
)
]
e
θ
+
+
m
cos
(
m
φ
)
P
n
m
(
cos
(
θ
)
)
sin
(
θ
)
1
ρ
d
d
ρ
[
ρ
z
n
(
ρ
)
]
e
φ
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {N} _{omn}&(k,\mathbf {r} )={\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\sin(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }+\\&+\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }+\\&+{m\cos(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}
Можно видеть, что у магнитных гармоник отсутствует радиальная компонента. Для электрических гармоник радиальная компонента убывает быстрее, чем угловые, поэтому на больших
ρ
{\displaystyle \rho }
ρ
{\displaystyle \rho }
Явный вид продольных гармоник:
L
o
e
m
n
(
k
,
r
)
=
∂
∂
r
z
n
(
k
r
)
P
n
m
(
cos
θ
)
sin
cos
m
φ
e
r
+
1
r
z
n
(
k
r
)
∂
∂
θ
P
n
m
(
cos
θ
)
sin
cos
m
φ
e
θ
∓
∓
m
r
sin
θ
z
n
(
k
r
)
P
n
m
(
cos
θ
)
cos
sin
m
φ
e
φ
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} _{^{e}_{o}{mn}}&(k,\mathbf {r} )={\frac {\partial }{\partial r}}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}{m\varphi }\mathbf {e} _{r}+\\&{\frac {1}{r}}z_{n}(kr){\frac {\partial }{\partial \theta }}P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}m\varphi \mathbf {e} _{\theta }\mp \\&\mp {\frac {m}{r\sin \theta }}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\sin }_{\cos }}m\varphi \mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}
Повороты и инверсия системы координат [ править | править код ] Иллюстрация преобразования векторных сферических гармоник при поворотах. Можно видеть, что они преобразуются так же, как соответствующие скалярные функции. При поворотах векторные сферические гармоники преобразуются друг через друга так же, как соответствующие скалярные сферические функции , которые являются производящими для конкретного типа векторных гармоник. Например, если производящими функциями являются обычные сферические функции , то векторные гармоники будут тоже преобразовываться с помощью D-матриц Вигнера [1] [8] [9]
D
^
(
α
,
β
,
γ
)
Y
J
M
(
s
)
(
θ
,
φ
)
=
∑
m
′
=
−
ℓ
ℓ
[
D
M
M
′
(
ℓ
)
(
α
,
β
,
γ
)
]
∗
Y
J
M
′
(
s
)
(
θ
,
φ
)
,
{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {Y} _{JM}^{(s)}(\theta ,\varphi )=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{MM'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}\mathbf {Y} _{JM'}^{(s)}(\theta ,\varphi ),}
Поведение при поворотах не отличается для электрических, магнитных и продольных гармоник.
При инверсии электрические и продольные сферические гармоники ведут себя так же, как скалярные сферические функции, то есть
I
^
N
J
M
(
θ
,
φ
)
=
(
−
1
)
J
N
J
M
(
θ
,
φ
)
,
{\displaystyle {\hat {I}}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi ),}
а магнитные обладают противоположной четностью:
I
^
M
J
M
(
θ
,
φ
)
=
(
−
1
)
J
+
1
M
J
M
(
θ
,
φ
)
,
{\displaystyle {\hat {I}}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J+1}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi ),}
Разложение плоской волны и интегральные соотношения [ править | править код ] В этом параграфе будут использованы следующие обозначения
Y
e
m
n
=
cos
m
φ
P
n
m
(
cos
θ
)
Y
o
m
n
=
sin
m
φ
P
n
m
(
cos
θ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{emn}&=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\\Y_{omn}&=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\end{aligned}}}
X
o
e
m
n
(
k
k
)
=
∇
×
(
k
Y
e
o
m
n
(
k
k
)
)
{\displaystyle \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)=\nabla \times \left(\mathbf {k} Y_{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right)}
Z
e
o
m
n
(
k
k
)
=
i
k
k
×
X
o
e
m
n
(
k
k
)
{\displaystyle \mathbf {Z} _{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)=i{\frac {\mathbf {k} }{k}}\times \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)}
В случае, когда вместо
z
n
{\displaystyle z_{n}}
формулы разложения комплексной экспоненты по сферическим функциям , можно получить следующие интегральные соотношения: [10]
N
p
m
n
(
k
,
r
)
=
i
−
n
4
π
∫
Z
p
m
n
(
k
k
)
e
i
k
r
d
Ω
k
{\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }d\Omega _{k}}
M
p
m
n
(
k
,
r
)
=
i
−
n
4
π
∫
X
p
m
n
(
k
k
)
e
i
k
r
d
Ω
k
{\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }d\Omega _{k}}
В случае, когда вместо
z
n
{\displaystyle z_{n}}
[11] [10]
M
p
m
n
(
3
)
(
k
,
r
)
=
i
−
n
2
π
k
∬
−
∞
∞
d
k
‖
e
i
(
k
x
x
+
k
y
y
±
k
z
z
)
k
z
[
X
p
m
n
(
k
k
)
]
{\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\left[\mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right]}
N
p
m
n
(
3
)
(
k
,
r
)
=
i
−
n
2
π
k
∬
−
∞
∞
d
k
‖
e
i
(
k
x
x
+
k
y
y
±
k
z
z
)
k
z
[
Z
p
m
n
(
k
k
)
]
{\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\left[\mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right]}
где
k
z
=
k
2
−
k
x
2
−
k
y
2
{\displaystyle k_{z}={\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}}
(
3
)
{\displaystyle (3)}
↑ 1 2 3 Варшалович Д. А. , Москалёв А. Н., Херсонский В. К.Квантовая теория углового момента. Архивная копия от 11 ноября 2007 на Wayback Machine — Л.: Наука, 1975.↑ Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. — М. : Мир, 1986. — С. 221—222. — 660 с.↑ 1 2 Stratton J. Electromagnetic Theory. — NY, Mcgraw. — С. 392-423.↑ Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. — 4. — М. , 1981.↑
R.G. Barrera, G.A. Estévez and J. Giraldo, Vector spherical harmonics and their application to magnetostatics , Eur. J. Phys. 6 287-294 (1985)
↑ Джексон Дж. Классическая электродинамика. — М. : Мир , 1965.↑ R. Alaee, C. Rockstuhl, I. Fernandez‐Corbaton, Exact Multipolar Decompositions with Applications in Nanophotonics , Advanced Optical Materials 2019, 7, 1800783.
↑ H. Zhang, Yi. Han, Addition theorem for
the spherical vector wave functions and its application to the beam shape coeffcients. J. Opt. Soc. Am. B, 25(2):255-260, Feb 2008.
↑ S. Stein, Addition theorems for spherical wave functions , Quarterly of Applied Mathematics, 19(1):15-24, 1961.
↑ 1 2 B. Stout,Spherical harmonic lattice sums for gratings. In: Popov E, editor. Gratings: theory and numeric applications. Institut Fresnel, Universite d'Aix-Marseille 6 (2012). (неопр.) Дата обращения: 29 декабря 2019. Архивировано 21 декабря 2018 года.↑ R. C. Wittmann, Spherical wave operators and the translation formulas, IEEE Transactions on Antennas and Propagation 36, 1078-1087 (1988) (неопр.) . Дата обращения: 29 декабря 2019. Архивировано 29 декабря 2019 года.
Электрические гармоники . изображена дважды
Электрические гармоники . изображена дважды
Электрические гармоники . изображена дважды
Магнитные гармоники . изображена дважды
Магнитные гармоники . изображена дважды
Магнитные гармоники . изображена дважды
![{\displaystyle {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}k^{2}\left\{n\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+(n+1)\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3caf9a3a862e813514a86ae833494cfd4f0f9c8a)
![{\displaystyle {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{2n+1}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left[z_{n}(kr)\right]^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61acd92c5fd19ad05b94d6e9792241b6dc468972)
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left\{(n+1)\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+n\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6304776dd0142be5974ab4f30dd4b895cc093fb0)
![{\displaystyle {\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)k\left\{\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}-\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/550cfe2b979c59738bfb9c3213cc844a29dad4dd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {N} _{emn}(k,\mathbf {r} )={\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\cos(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }+}\\{+\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }-\\{-m\sin(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad38d781b484c1a1b550920518d596c88de2c37)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {N} _{omn}&(k,\mathbf {r} )={\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\sin(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }+\\&+\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }+\\&+{m\cos(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4528c43603f7c5868f920afcbdae5bec0d6f1af3)
![{\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {Y} _{JM}^{(s)}(\theta ,\varphi )=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{MM'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}\mathbf {Y} _{JM'}^{(s)}(\theta ,\varphi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8058dc6bc3db6f74f9347479626e2a3aca7673b)
![{\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\left[\mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916898171326fa77d2c6b525ee23a44893581bdb)
![{\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\left[\mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a6b0db1d3b540dc4324d7fbefc7be994862b50f)
