Вероятность перехода

Вероятностью перехода называется вероятность квантовой системы перейти из одного стационарного состояния в другое стационарное состояние под воздействием какого-либо возмущения.

В теории возмущений вероятность перехода даётся формулой:

$w_{fi}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\left|\int _{-\infty }^{+\infty }V_{fi}(t)e^{i\omega _{fi}t}dt\right|^{2}$

где $i$ и $f$ - начальное $|i\rangle$ и конечное $|f\rangle$ состояния системы,

$V_{fi}(t)\$ - матричный элемент оператора возмущения $\langle f|{\hat {V}}(t)|i\rangle \$,

$\omega _{fi}\$ - разность энергий двух стационарных состояний $(E_{f}-E_{i})/\hbar \$.

Вышеуказанная формула справедлива в первом порядке теории возмущений, т.е. когда $V_{fi}\ll \hbar \omega _{fi}\$. Предполагается что возмущение ${\hat {V}}\$ затухает при $t\to \pm \infty \$. Для определения вероятности перехода на конечный момент времени $t\$ надо положить верхний предел интеграла равным $t\$, что эквивалентно выключению взаимодействия в этот момент времени.

Важным случаем является переход под воздействием периодического возмущения частоты $\omega \$: $V_{fi}(t)={\tilde {V}}_{fi}e^{-i\omega t}\$. Считая включение потенциала экспоненциальным $V_{fi}(t)={\tilde {V}}_{fi}e^{-i\omega t+\lambda t}\$ , находим:

$w_{fi}(t)={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\left|\int _{-\infty }^{t}{\tilde {V}}_{fi}e^{i(\omega _{fi}-\omega )t+\lambda t}dt\right|^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\left|{\tilde {V}}_{fi}\right|^{2}{\frac {e^{2\lambda t}}{(\omega _{fi}-\omega )^{2}+\lambda ^{2}}}$

Откуда в адиабатическом пределе $\lambda \to 0\$ для вероятности перехода в единицу времени получаем:

${\frac {d}{dt}}w_{fi}(t)={\frac {2\pi }{\hbar ^{2}}}\left|{\tilde {V}}_{fi}\right|^{2}\delta (\omega _{fi}-\omega )$

Данный результат тесно связан с золотым правилом Ферми, которое получается суммированием по конечным состояниям $f\$, (полагая также $\omega =0\$).

Литература

• Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М.: Наука, 1985. — 384 с.
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Феймановские лекции по физике. Пер. с англ., Том. 8. Том 9., М., 1966—1967.