Гиперциклический оператор

Пусть $X$ — топологическое векторное пространство (например, банахово пространство). Линейный непрерывный оператор $T:X\rightarrow X$ называется гиперциклическим, если существует элемент $x\in X$, такой что множество $\left\{T^{n}x,n=0,1,2,...\right\}$ плотно в $X$. Этот элемент $x$ называется гиперциклическим вектором для оператора $T$.

Понятие гиперцикличности является частным случаем более широкого понятия топологической транзитивности.

Примеры

Первый пример гиперциклического оператора получил Биркхоф в 1929 году.

В 1969 году Ролевич доказал, что гиперцикличен оператор обратного сдвига в пространстве $l^{2}$, умноженный на константу $\lambda :|\lambda |>1$, переводящий последовательность $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\in l^{2}$ в последовательность $(\lambda a_{2},\lambda a_{3},\lambda a_{4},\ldots )\in l^{2}$.

В 1988 году Чарльз Рид придумал пример оператора на банаховом пространстве $l^{1}$, такой, что все его ненулевые вектора гиперциклические. Это контрпример к известной проблеме существования инвариантного подпространства для банаховых пространств. Для гильбертовых пространств проблема остается открытой.

Ссылки

• K.-G. Grosse-Erdmann. Universal families and hypercyclic operators. Архивная копия от 30 апреля 2007 на Wayback Machine
• Read, C. J. (1988), "The invariant subspace problem for a class of Banach spaces, 2: hypercyclic operators", Israel Journal of Mathematics, 63 (1): 1—40, doi:10.1007/BF02765019, ISSN 0021-2172, MR: 0959046