Гипотеза Диксона

Гипотеза Диксона — теоретико-числовое предположение, высказанное Линордом Диксоном в 1904 году, утверждающее, что для любого конечного набора линейных форм $a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k}$ при $a_{j}\geqslant 1$ , имеется бесконечно много натуральных чисел n, для которых все значения форм будут простыми одновременно, если только не существует сравнение по некоторому простому модулю, сразу исключающее эту возможность.

Формулировка[править | править код]

Пусть k — натуральное число, рассмотрим k арифметических прогрессий $a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k}$ с целыми $a_{j},b_{j}$ , причем $a_{j}\geqslant 1$ . Гипотеза Диксона предполагает, что существует бесконечно много натуральных n таких, что для каждого такого n все k чисел $a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2},...a_{k}n+b_{k}$ являются простыми числами. Из рассмотрения исключается только тривиальный случай, когда существует такое простое p, что при любом n хотя бы одно число $a_{j}n+b_{j}$ кратно p. Это ограничение можно переформулировать так: неверно что для любого n выполняется сравнение $(a_{1}n+b_{1})(a_{2}n+b_{2})...(a_{k}n+b_{k})\equiv 0{\pmod {p}}$ . В последнем случае на p может делиться как несколько прогрессий при разных n, так и одна прогрессия при всех n. Например, для 2-х прогрессий $n,2n$ всегда $2\mid 2n$ , а для 2-х других прогрессий $n,n+3$ при четных n $2\mid n$ , а при нечетных — $2\mid n+3$ , так что в парах прогрессий $n,2n$ и $n,n+3$ число простых пар не бесконечно.

Заметим также, что формулировка гипотезы получается более естественной, если расширить её область действия с натуральных до всех целых чисел, в частности, считать простыми не только положительные числа $2,3,5,...$ , но и отрицательные числа $-2,-3,-5,...$ (каковые действительно являются простыми элементами в кольце $\mathbb {Z}$ в обычном смысле). В таком случае нет необходимости требовать положительность всех значений всех прогрессий $a_{j}n+b_{j}$ и значит условие $a_{j}\geqslant 1$ можно ослабить до $a_{j}\neq 0$ , а последнее вообще можно убрать, поскольку иначе $a_{j}n+b_{j}$ — не арифметическая прогрессия.

Частные случаи[править | править код]

Случай $k=1$ уже доказан — это теорема Дирихле.
Два специальных случая — это хорошо известные гипотезы: имеется бесконечно много простых чисел-близнецов (n и n + 2 простые), и имеется бесконечно много чисел Софи Жермен (n и 2n + 1 простые).
Гипотеза Полиньяка — существует бесконечно много простых пар вида $n,n+2t$ , t — фиксированное натуральное число (то есть бесконечно число простых пар $(n,n+2)$ , $(n,n+4)$ , $(n,n+6)$ и т. п.).
Гипотеза о последовательных простых: если нет простого p такого, что для всех n $p\mid (n+b_{1})(n+b_{2})...(n+b_{k})$ , то число последовательных простых бесконечно (это опять же пары $(n,n+2)$ , тройки $(n,n+2,n+6)$ , четверки $(n,n+2,n+6,n+8)$ и т. д.)
В качестве других следствий можно привести то, что из гипотезы Диксона следует бесконечность числа составных чисел Мерсенна и бесконечность чисел Кармайкла, содержащих ровно 3 простых множителя, и т. п.

Эвристические соображения в пользу гипотезы[править | править код]

Пусть $w(p)$ — число решений сравнения $(a_{1}n+b_{1})(a_{2}n+b_{2})...(a_{k}n+b_{k})\equiv 0{\pmod {p}}$ . Согласно предположению гипотезы, $w(p)<p$ и тогда согласно эвристическим рассуждениям в пользу гипотезы Бейтмана-Хорна, получаем, что плотность чисел n, не превосходящих x, для которых все числа $a_{j}n+b+j$ простые, оценивается величиной

\prod \limits _{p}{\frac {1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^{k}}}\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln ^{k}t}},

здесь произведение берется по всем простым числам p, а $\ln$ — натуральный логарифм числа. Величина асимптотически эквивалентна $\prod \limits _{p}{\frac {1-w(p)/p}{(1-p^{-1})^{k}}}{\frac {x}{\ln ^{k}x}},$ но 1-е выражение должно быть точнее. При $k=1$ , нетрудно проверить, коэффициент будет равен ${\frac {1}{\varphi (a_{1})}}$ , что соответствует теореме Дирихле (здесь $\varphi$ — функция Эйлера).