Гипотеза Хадвигера (комбинаторная геометрия)

Гипо́теза Хадвигера (комбинаторная геометрия) — гипотеза в комбинаторной геометрии, утверждающая, что любое выпуклое тело в $n$-мерном евклидовом пространстве можно покрыть $2^{n}$-меньшими гомотетичными покрываемому телу телами, и что параллелипипеды являются единственными телами, которые можно покрыть лишь $2^{n}$-меньшими гомотетичными покрываемому телу телами. Справедливость этой гипотезы неизвестна для $n\geqslant 3$.

История

Гипотеза была выдвинута Гуго Хадвигером в 1957 г. А.Ю. Левин и Ю.И. Петунин доказали, что для всякого $n$-мерного центрально-симметричного выпуклого тела справедливо неравенство $N\leqslant (n+1)^{n}$. В 1963 г. Роджерс получил для центрально-симметричных тел оценку $N\leqslant 2^{n}(n\ln n+n\ln \ln n+5n)$

Формулировка в терминах задачи освещения

Можно показать, что наименьшее число гомотетичных исходному тел, необходимых для покрытия $n$-мерного выпуклого тела, равно наименьшему числу направлений, достаточных для полного освещения этого тела.

Литература

• В.Г. Болтянский, И.Ц. Гохберг. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. — М.: Наука, 1965. — 107 с.