Гипотезы Поллока

Гипо́тезы По́ллока — несколько гипотез о фигурных числах, которые выдвинул в 1850 году британский математик-любитель, член Королевского общества сэр Джонатан Фредерик Поллок. Эти гипотезы можно рассматривать как дополнение теоремы Ферма о многоугольных числах, в том числе расширение теоремы на случай пространственных фигурных чисел.

1. Гипотеза 1: любое натуральное число есть сумма не более чем девяти кубических чисел. Доказана в начале XX века. Обычно достаточно семи кубов, но 15 чисел (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, последовательность A018889 в OEIS) требуют восьми, а двум числам (23 и 239) нужны все девять. Если, кроме сложения, допускать вычитание, то достаточно и пяти кубов (возможно, что даже четырёх, но это пока не доказано).
2. Гипотеза 2: любое натуральное число есть сумма не более чем одиннадцати центрированных девятиугольных чисел. До сих пор не доказана и не опровергнута.
3. Гипотеза 3: любое натуральное число есть сумма не более чем пяти тетраэдральных чисел. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардов. Обнаружено 241 число, для которых четырёх тетраэдральных чисел недостаточно (17, 27, 33, 52, 73, ..., последовательность A000797 в OEIS), скорее всего, последнее из них равно 343867.
4. Гипотеза 4, обобщающая часть предыдущих. Обозначим $m$ число вершин одного из пяти правильных многогранников, а $n$ — число его граней (4, 6, 8, 12 или 20). Тогда каждое натуральное число является суммой не более чем $m+1$ фигурных чисел, соответствующих этому многограннику, то есть:

($n=4$, тетраэдр) не более 5 тетраэдральных чисел;

($n=6$, октаэдр) не более 7 октаэдральных чисел;

($n=8$, куб) не более 9 кубических чисел;

($n=12$, икосаэдр) не более 13 икосаэдральных чисел;

($n=20$, додекаэдр) не более 21 додекаэдральных чисел.

Эта гипотеза до сих пор не доказана и не опровергнута.

Литература

• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

Ссылки

• Pollock's Conjecture Архивная копия от 21 ноября 2021 на Wayback Machine  (англ.).