Три гипотезы о кубоидах — это три математических утверждения о неразложимости трёх многочленов с целыми коэффициентами от одной переменной, зависящими от нескольких целых параметров. Они ни доказаны, ни опровергнуты.
Гипотеза 1. Для любых двух положительных взаимнопростых целых чисел
a
≠
u
{\displaystyle \displaystyle a\neq u}
многочлен восьмой степени
P
a
u
(
t
)
=
t
8
+
6
(
u
2
−
a
2
)
t
6
+
(
a
4
−
4
a
2
u
2
+
u
4
)
t
4
−
6
a
2
u
2
(
u
2
−
a
2
)
t
2
+
u
4
a
4
{\displaystyle P_{au}(t)=t^{8}+6\,(u^{2}-a^{2})\,t^{6}+(a^{4}-4\,a^{2}\,u^{2}+u^{4})\,t^{4}-6\,a^{2}\,u^{2}\,(u^{2}-a^{2})\,t^{2}+u^{4}\,a^{4}}
(1)
неприводим над кольцом целых чисел
Z
{\displaystyle \displaystyle \mathbb {Z} }
.
Гипотеза 2. Для любых двух положительных взаимнопростых целых чисел
p
≠
q
{\displaystyle \displaystyle p\neq q}
многочлен десятой степени
Q
p
q
(
t
)
=
t
10
+
(
2
q
2
+
p
2
)
(
3
q
2
−
2
p
2
)
t
8
+
(
q
8
+
10
p
2
q
6
+
4
p
4
q
4
−
14
p
6
q
2
+
p
8
)
t
6
−
p
2
q
2
(
q
8
−
14
p
2
q
6
+
4
p
4
q
4
+
10
p
6
q
2
+
p
8
)
t
4
−
p
6
q
6
(
q
2
+
2
p
2
)
(
−
2
q
2
+
3
p
2
)
t
2
−
q
10
p
10
{\displaystyle {\begin{aligned}Q_{pq}(t)={}&t^{10}+(2q^{2}+p^{2})(3q^{2}-2p^{2})t^{8}\\[4pt]&{}+(q^{8}+10p^{2}q^{6}+4p^{4}q^{4}-14p^{6}q^{2}+p^{8})t^{6}\\[4pt]&{}-p^{2}q^{2}(q^{8}-14p^{2}q^{6}+4p^{4}q^{4}+10p^{6}\,q^{2}+p^{8})t^{4}\\[4pt]&{}-p^{6}\,q^{6}\,(q^{2}+2\,p^{2})\,(-2\,q^{2}+3\,p^{2})\,t^{2}\\[4pt]&{}-q^{10}\,p^{10}\end{aligned}}}
(2)
неприводим над кольцом целых чисел
Z
{\displaystyle \displaystyle \mathbb {Z} }
.
Гипотеза 3. Для любых трёх положительных взаимнопростых целых чисел
a
{\displaystyle \displaystyle a}
b
{\displaystyle \displaystyle b}
u
{\displaystyle \displaystyle u}
1)
a
=
b
;
3)
b
u
=
a
2
;
5)
a
=
u
;
2)
a
=
b
=
u
;
4)
a
u
=
b
2
;
6)
b
=
u
{\displaystyle {\begin{array}{lcr}{\text{1)}}\qquad a=b;\qquad \qquad &{\text{3)}}\qquad b\,u=a^{2};\qquad \qquad &{\text{5)}}\qquad a=u;\\{\text{2)}}\qquad a=b=u;\qquad \qquad &{\text{4)}}\qquad a\,u=b^{2};\qquad \qquad &{\text{6)}}\qquad b=u\end{array}}}
(3)
условий не выполняется, многочлен двенадцатой степени
P
a
b
u
(
t
)
=
t
12
+
(
6
u
2
−
2
a
2
−
2
b
2
)
t
10
+
(
u
4
+
b
4
+
a
4
+
4
a
2
u
2
+
4
b
2
u
2
−
12
b
2
a
2
)
t
8
+
(
6
a
4
u
2
+
6
u
2
b
4
−
8
a
2
b
2
u
2
−
2
u
4
a
2
−
2
u
4
b
2
−
2
a
4
b
2
−
2
b
4
a
2
)
t
6
+
(
4
u
2
b
4
a
2
+
4
a
4
u
2
b
2
−
12
u
4
a
2
b
2
+
u
4
a
4
+
u
4
b
4
+
a
4
b
4
)
t
4
+
(
6
a
4
u
2
b
4
−
2
u
4
a
4
b
2
−
2
u
4
a
2
b
4
)
t
2
+
u
4
a
4
b
4
.
{\displaystyle {\begin{aligned}P_{abu}(t)={}&t^{12}+(6u^{2}-2a^{2}-2b^{2})t^{10}\\&{}+(u^{4}+b^{4}+a^{4}+4a^{2}u^{2}+4b^{2}u^{2}-12b^{2}a^{2})t^{8}\\&{}+(6a^{4}u^{2}+6u^{2}b^{4}-8a^{2}b^{2}u^{2}-2u^{4}a^{2}-2u^{4}b^{2}-2a^{4}b^{2}-2b^{4}a^{2})t^{6}\\&{}+(4u^{2}b^{4}a^{2}+4a^{4}u^{2}b^{2}-12u^{4}a^{2}b^{2}+u^{4}a^{4}+u^{4}b^{4}+a^{4}b^{4})t^{4}\\&{}+(6a^{4}u^{2}b^{4}-2u^{4}a^{4}b^{2}-2u^{4}a^{2}b^{4})t^{2}+u^{4}a^{4}b^{4}.\end{aligned}}}
(4)
неприводим над кольцом целых чисел
Z
{\displaystyle \displaystyle \mathbb {Z} }
.
Гипотезы 1, 2 и 3 связаны с задачей о совершенном кубоиде [1] [2]
![{\displaystyle {\begin{aligned}Q_{pq}(t)={}&t^{10}+(2q^{2}+p^{2})(3q^{2}-2p^{2})t^{8}\\[4pt]&{}+(q^{8}+10p^{2}q^{6}+4p^{4}q^{4}-14p^{6}q^{2}+p^{8})t^{6}\\[4pt]&{}-p^{2}q^{2}(q^{8}-14p^{2}q^{6}+4p^{4}q^{4}+10p^{6}\,q^{2}+p^{8})t^{4}\\[4pt]&{}-p^{6}\,q^{6}\,(q^{2}+2\,p^{2})\,(-2\,q^{2}+3\,p^{2})\,t^{2}\\[4pt]&{}-q^{10}\,p^{10}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ae71bc91df2ad93343c4e8b6bb60bbde7420f8)
