Градуированное многообразие

Градуированные многообразия представляют собой расширение концепции многообразия на основе представлений о суперсимметрии и коммутативной градуированной алгебры. Градуированные многообразия не являются супермногообразиями, хотя есть определенное соответствие между градуированными многообразиями и супермногообразиями Девитта. Как градуированные многообразия, так и супермногообразия определяются в терминах пучков $\mathbb {Z} _{2}$-градуированных алгебр. Однако градуированные многообразия характеризуются пучками на гладких многообразиях, тогда как супермногообразия определяются склеиванием пучков супервекторных пространств.

Градуированные многообразия

Градуированное многообразие размерности $(n,m)$ определяется как локально окольцованное пространство $(Z,A)$, где $Z$ является $n$-мерным гладким многообразием и $A$ — $C_{Z}^{\infty }$-пучок алгебр Грассмана ранга $m$, где $C_{Z}^{\infty }$ — пучок гладких вещественных функций на $Z$. Пучок $A$ называется структурным пучком градуированного многообразия $(Z,A)$, а гладкое многообразие $Z$ — телом $(Z,A)$. Сечения пучка $A$ именуются градуированными функциями на градуированном многообразии $(Z,A)$. Они образуют коммутативное градуированное $C^{\infty }(Z)$-кольцо $A(Z)$, называемое структурным кольцом $(Z,A)$. Известные теорема Батчелора и теорема Серра — Свана следующим образом характеризуют градуированные многообразия.

Теорема

Пусть $(Z,A)$ — градуированное многообразие. Существует векторное расслоение $E\to Z$ с $m$-мерным типичным слоем $V$, такое что структурный пучок $A$ градуированного многообразия $(Z,A)$ изоморфен структурному пучку сечений внешнего произведения $\Lambda (E)$ расслоения $E$, типичным слоем которого является алгебра Грассмана $\Lambda (V)$.

Пусть $Z$ — гладкое многообразие. Градуированная коммутативная $C^{\infty }(Z)$-алгебра изоморфна структурному кольцу градуированного многообразия с телом $Z$ тогда и только тогда, когда она — внешняя алгебра некоторого проективного $C^{\infty }(Z)$-модуля конечного ранга.

Градуированные функции

Хотя упомянутый выше изоморфизм Батчелора не является каноническим, во многих приложениях он изначально фиксирован. В этом случае всякая локальная карта тривиализации $(U;z^{A},y^{a})$ векторного расслоения $E\to Z$ порождает локальное расщепление $(U;z^{A},c^{a})$ градуированного многообразия $(Z,A)$, где $\{c^{a}\}$ — базис слоя расслоения $E$. Градуированные функции на такой карте представляются $\Lambda (V)$-значными функциями

$f=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k!}}f_{a_{1}\ldots a_{k}}(z)c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}}$,

где $f_{a_{1}\cdots a_{k}}(z)$ — гладкие вещественные функции на $U$ и $c^{a}$ — нечетные порождающие элементы алгебры Грассмана $\Lambda (V)$.

Градуированные векторные поля

Пусть задано градуированное многообразие $(Z,A)$. Градуированные дифференцирования структурного кольца градуированных функций $A(Z)$ называются градуированными векторными полями на $(Z,A)$. Они образуют вещественную супералгебру Ли $\partial A(Z)$ относительно суперскобок

$[u,u']=u\cdot u'-(-1)^{[u][u']}u'\cdot u$,

где $[u]$ обозначает грассманову четность $u\in \partial A(Z)$. Градуированные векторные поля локально имеют вид

$u=u^{A}\partial _{A}+u^{a}{\frac {\partial }{\partial c^{a}}}$.

Они действуют на градуированные функции $f$ по закону

$u(f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}})=u^{A}\partial _{A}(f_{a_{1}\ldots a_{k}})c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}}+\sum _{i}u^{a_{i}}(-1)^{i-1}f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\cdots c^{a_{i-1}}c^{a_{i+1}}\cdots c^{a_{k}}$.

Градуированные внешние формы

Модуль, $A(Z)$-дуальный модулю градуированных векторных полей $\partial A(Z)$, называется модулем градуированных внешних одно-форм $O^{1}(Z)$. Градуированные внешние одно-формы локально имеют вид $\phi =\phi _{A}dz^{A}+\phi _{a}dc^{a}$, так что внутреннее произведение между $\partial A(Z)$ и $O^{1}(Z)$ дается выражением

$u\rfloor \phi =u^{A}\phi _{A}+(-1)^{[\phi _{a}]}u^{a}\phi _{a}$.

Наделенные операцией градуированного внешнего произведения

$dz^{A}\wedge dc^{i}=-dc^{i}\wedge dz^{A},\qquad dc^{i}\wedge dc^{j}=dc^{j}\wedge dc^{i}$,

градуированные одно-формы порождают градуированную внешнюю алгебру $O^{*}(Z)$ градуированных внешних форм на градуированном многообразии. Они удовлетворяют соотношениям

$\phi \wedge \phi '=(-1)^{|\phi ||\phi '|+[\phi ][\phi ']}\phi '\wedge \phi$,

где $|\phi |$ — степень формы $\phi$. Градуированная внешняя алгебра $O^{*}(Z)$ является дифференциальной градуированной алгеброй относительно градуированного внешнего дифференциала

$d\phi =dz^{A}\wedge \partial _{A}\phi +dc^{a}\wedge {\frac {\partial }{\partial c^{a}}}\phi$,

где градуированные дифференцирования $\partial _{A}$, $\partial /\partial c^{a}$ градуировано коммутативны с градуированными формами $dz^{A}$ и $dc^{a}$. Справедливы соотношения

$d(\phi \wedge \phi ')=d(\phi )\wedge \phi '+(-1)^{|\phi |}\phi \wedge d\phi '$.

Градуированная дифференциальная геометрия

В категории градуированных многообразий рассматриваются градуированные группы Ли, градуированные расслоения и главные градуированные расслоения. Вводится также понятие струй градуированных многообразий, которые, однако, отличаются от струй сечений градуированных расслоений.

Градуированное дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление на градуированных многообразиях формулируется как дифференциальное исчисление над коммутативными градуированными алгебрами, аналогично дифференциальному исчислению над коммутативными алгебрами.

Физические приложения

Благодаря вышеупомянутой теореме Серра — Свана нечетные классические поля на гладком многообразии описываются в терминах именно градуированных многообразий, а не супермногообразий. Будучи обобщенным на градуированные многообразия, вариационный бикомплекс обеспечивает строгую математическую формулировку лагранжевой теории четных и нечетных классических полей и лагранжевой БРСТ теории.

См. также

• Супергеометрия
• Суперсимметрия
• Связность (некоммутативная геометрия)

Литература

• C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez, The Geometry of Supermanifolds (Kluwer, 1991) ISBN 0-7923-1440-9
• T. Stavracou, Theory of connections on graded principal bundles, Rev. Math. Phys. 10 (1998) 47
• B. Kostant, Graded manifolds, graded Lie theory, and prequantization, in Differential Geometric Methods in Mathematical Physics, Lecture Notes in Mathematics 570 (Springer, 1977) p. 177
• A. Almorox, Supergauge theories in graded manifolds, in Differential Geometric Methods in Mathematical Physics, Lecture Notes in Mathematics 1251 (Springer, 1987) p. 114
• D. Hernandez Ruiperez, J. Munoz Masque, Global variational calculus on graded manifolds, J. Math. Pures Appl. 63 (1984) 283
• G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, Advanced Classical Field Theory (World Scientific, 2009) ISBN 978-981-283-895-7
• Сарданашвили Г. А., Современные методы теории поля. 4. Геометрия и квантовые поля (УРСС, 2000) ISBN 5-88417-221-4.

Ссылки

• G. Sardanashvily, Lectures on supergeometry, arXiv: 0910.0092

Теоретическая физика