Дираковская потенциальная гребёнка, в квантовой механике, периодический потенциал, образованный последовательностью δ-функций Дирака.
![{\displaystyle U(x)={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea7244476cc409838e5c124b7d205b7e0e00fe9)
где a — интервал между соседними сингулярными точками. Это простейшая модель, в которой возникает зонная структура спектра.
Уравнение Шрёдингера с потенциалом в виде дираковской потенциальной гребёнки
[править | править код]
Уравнение Шрёдингера принимает вид
![{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na)\Psi (x)=E\Psi (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a331888105dc20987f154f2fca117dc2368c3325)
Вводя обозначение
, получим:
![{\displaystyle \Psi ''(x)+\left(k^{2}-2\Omega \sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x+na)\right)\Psi (x)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b3e04c1c917c0e34b3c3243624e0f903d923386)
В интервале
уравнение принимает вид:
![{\displaystyle \Psi ''(x)+k^{2}\Psi (x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c0cca66b12627e5fcad2013a227cadb27f87a7d)
и его общее решение равно
![{\displaystyle \Psi (x)=C_{1}e^{ikx}+C_{2}e^{-ikx}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d53edc478025c550439ca7b78fb85814d39eaa0)
Так как потенциал периодический, то в интервале
решение имеет вид
![{\displaystyle \Psi (x)=e^{iKa}\left(C_{1}e^{ik(x-a)}+C_{2}e^{-ik(x-a)}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44da33e376c4923db42ccfddd5ed0f063038f751)
Условие непрерывности волновой функции
![{\displaystyle \Psi (a+0)=\Psi (a-0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfe541d4ffe15dfd0319fb6c4ae0ab61f3444525)
Интегрируя уравнение Шрёдингера в окрестности точки
, получим условие сшивки для производных:
![{\displaystyle \Psi '(a+0)=\Psi '(a-0)+2\Omega \Psi (a).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a142303fd6eee8621b1d0b9d819079947aabdc2e)
Учитывая эти условия, имеем:
![{\displaystyle e^{iKa}(A+B)=Ae^{ika}+Be^{-ika},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3848255d24294bafcfd7737a2d797a8f6dc5234c)
![{\displaystyle ike^{iKa}(A-B)=ik(Ae^{ika}-Be^{-ika})+2\Omega (Ae^{ika}+Be^{-ika}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afabcc6fd26761382a3d89678bd67d1fcde69305)
Данное уравнение имеет нетривиальные решения при
![{\displaystyle \cos Ka=\cos ka+{\frac {\Omega }{k}}\sin ka.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e307d972aceef98f1034019116cbc8d08206c4f6)
Из этого следует, что зоны разрешённых значений энергии определяются неравенством
![{\displaystyle |\cos ka+{\frac {\Omega }{k}}\sin ka|\leqslant 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f64d96fbe8ea758cc7a44adf067ce803a0c9d6a9)
Соответствующий спектр энергий:
![{\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}(ka)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e87e1692d87fbf33295727d6aa5576fae04914)
- З. Флюгге. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.
Частица в периодическом потенциале
![Перейти к шаблону «Модели квантовой механики»](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png) |
---|
Одномерные без учёта спина | |
---|
Многомерные без учёта спина | |
---|
С учётом спина | |
---|