В математике, дифферинтеграл Грюнвальда — Летникова является одним из основных обобщений производной в дробном исчислении, которое позволяет брать производные нецелое число раз. Он был введён Антоном Карлом Грюнвальдом[нем.] в 1867 году и А. В. Летниковым в 1868 году.
Формулу для производной
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/365388f33bd9aece1a578a9a1fb3021d1eddc7e4)
можно применить рекурсивно для получения производных высших порядков. Например, для производной второго порядка получаем:
![{\displaystyle =\lim _{h_{1}\to 0}{\frac {\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{1}+h_{2})-f(x+h_{1})}{h_{2}}}-\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{2})-f(x)}{h_{2}}}}{h_{1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50b1bbc317b2fb68e66a9960770469ebc675176)
Предполагая, что все приращения
стремятся к нулю одинаково, данное выражение можно упростить:
![{\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26899f0f776d41b07661da4b4799448d3297aa9e)
которое может быть строго обосновано посредством формулы конечных приращений. В общем случае, имеем (смотри биномиальные коэффициенты):
![{\displaystyle d^{n}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{n}}}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{n \choose m}f(x+(n-m)h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04a2499fa117a329aca98c4a5bfbf92427e10b2)
Формально, снимая ограничение, что
— положительное число, естественно определить:
![{\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{q}}}\sum _{0\leqslant m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(q-m)h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859f88d9ffbdf459ffd69ada90e2ca650fbabba7)
Это и есть определение дифферинтеграла Грюнвальда — Летникова.
Определение также можно переписать проще, если ввести обозначение:
![{\displaystyle \Delta _{h}^{q}f(x)=\sum _{0\leqslant m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(q-m)h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8485e173527e01dab7c6189d9b25708ca917222d)
Тогда определение примет вид:
![{\displaystyle \mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta _{h}^{q}f(x)}{h^{q}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c830822625a4d020342f51d0401dac1d8da70276)
- Oldham, K. and Spanier, J. The Fractional Calculus — Publisher: Academic Press, 1974. — 234 p. — ISBN 0-12-52555-0-0.