Задача Шепарда

Задача Шепарда — вопрос выпуклой геометрии о сравнении объёмов двух симметричных выпуклых тел при условии, что в любом направлении площадь проекции первого не превосходит площади проекции второго.

Вопрос был сформулирован Джеффри Шепардoм в 1964 году.

Ответ на этот вопрос — «да» в размерности 2 и «нет» в размерности 3 и выше. Последнее было доказано независимо Петти и Шнайдером в 1967 году.

Формулировка

Пусть $K$ и $L$ — два центрально-симметричных выпуклых тела в $n$-мерном евклидовом пространстве. Предположим, площадь ортогональной проекции $K$ на произвольную гиперплоскость $\Pi$ не превышает площади ортогональной проекции $L$ на $\Pi$. Верно ли, что объём $K$ не превышает объёма $L$?

См. также

• Задача Буземана — Петти

Ссылки

• Petty, C.M. Projection bodies (неопр.) // Proc. Colloquium on Convexity (Copenhagen, 1965). — Kobenhavns Univ. Mat. Inst., Copenhagen, 1967. — С. 234—241.
• Schneider, Rolf. Zur einem Problem von Shephard über die Projektionen konvexer Körper (нем.) // Math. Z.. — 1967. — Т. 101. — С. 71—82. — doi:10.1007/BF01135693.
• Shephard, G. C. (1964), "Shadow systems of convex sets", Israel Journal of Mathematics, 2: 229—236, doi:10.1007/BF02759738, ISSN 0021-2172, MR 0179686